Петр Путенихин - Сверхсветовая передача сигналов

Рис.2. Установка для телепортации запутанности

При описании процесса телепортации будем считать, что в его осуществлении принимают участие традиционные персонажи – Алиса и Боб. Пометим индексами A и C кубиты, принадлежащие Алисе, а индексами B и D кубиты, соответственно, принадлежащие Бобу. Волновые функции двух запутанных пар описываются уравнениями

Тогда на стороне Алисы исходные, начальные состояния системы кубитов, участвующих в телепортации запутанности, можно записать следующим образом:

Здесь мы совершаем кажущееся нарушение формализма теории, поскольку фотоны Алисы запутаны с соответствующими фотонами Боба, поэтому, казалось бы, не могут быть описаны собственной волновой функцией. Однако при отсутствии воздействий на фотоны Боба для Алисы её фотоны ничем не отличаются от обычных, незапутанных фотонов, и она может работать с каждым из них как с обычным фотоном. В этом случае независимые фотоны Алисы описываются волновыми функциями:

Пропустим кубит C Алисы через гейт Адамара. В результате получаем новую функцию системы

Раскрываем скобки у правых сомножителей

Раскрываем оставшиеся скобки и собираем однотипные члены уравнения

После группировки и сокращения получаем

Здесь мы в рамках формализма квантовой информатики выполнили хотя и очевидные, но не вполне обоснованные математические операции: совпадающие члены уравнения мы сложили, а члены, имеющие противоположные знаки, сократили. Иначе запись должна была иметь вид:

Но после сокращения получаем выражение

Заметим, что полученная волновая функции выглядит на первый взгляд довольно странно:

Это состояние не является запутанным, но любое совместное измерение всегда даст нулевую (горизонтальную) поляризацию фотона C. Казалось бы, фотоны независимы, поэтому любому результату измерения A должен соответствовать такой же любой результат измерения C. Но причиной образования состояния (2) является действие гейта Адамара: фотон C в результате попросту перешёл в пределах системы в ортогональное состояние |0 С.

Пропустим полученную пару (2) через гейт CNOT. Для удобства перепишем новое состояние в матричном виде:

После прохождения фотонов Алисы через гейт CNOT состояние в матричном виде будет иметь вид:

В дираковской форме волновая функция теперь уже не может быть представлена как тензорное произведение двух независимых волновых функций фотонов A и C, что означает запутанное состояние этих фотонов (чистое состояние Белла ϕ +, состояние шрёдингеровского кота):

Для контроля проделаем все эти же преобразования в дираковской форме. Используем выражение (2):

Пропустим эту пару через гейт CNOT и сразу же в соответствие с таблицей состояний гейта CNOT получаем то же самое новое состояние системы: