Йэн Стюарт - Математика космоса [Как современная наука расшифровывает Вселенную]

В теории относительности нет осмысленной концепции одновременности. Разные наблюдатели могут наблюдать, как одни и те же события происходят в разном порядке. Я вижу, как кошка прыгает с подоконника за мгновение до того, как ваза с грохотом разбивается об пол; вы видите, что ваза падает раньше, чем прыгает кошка. Что произошло? Кошка разбила вазу или падающая ваза напугала кошку? (Мы все знаем, какой из этих вариантов более вероятен, но у кошки великолепный адвокат, и зовут его Альберт Эйнштейн.)

Однако, несмотря на то что абсолютная одновременность невозможна, для нее существует замена: сопутствующая система отсчета. Это хитрое название для системы отсчета, или координатной системы, представляющей Вселенную так, как она выглядит с точки зрения какого-то конкретного наблюдателя. Начните в той точке, где я нахожусь сейчас (это будет начало координат) и двигайтесь десять лет со скоростью света к близлежащей звезде. Определите систему отсчета так, чтобы эта звезда находилась в десяти световых годах от начала координат и на десять лет в будущее. Проделайте то же самое для всех направлений и времен: это будет моя сопутствующая система отсчета. Такая система есть у каждого из нас; просто может так получиться, что ваша система окажется несовместима с моей, если кто-то из нас начнет двигаться туда-сюда.

Если ваше положение в моей сопутствующей системе отсчета выглядит стационарным (то есть, попросту говоря, вы в ней не движетесь), то мы с вами — сопутствующие наблюдатели. Для нас пространственная форма Вселенной определяется одной и той же фиксированной пространственной системой координат. Ее форма и размер могут меняться со временем, но существует непротиворечивый способ описывать эти изменения. Физически сопутствующую систему можно отличить от других систем: Вселенная в ней должна выглядеть одинаково во всех направлениях. В системе, которая не является сопутствующей, на одних участках неба может наблюдаться систематическое красное смещение, а на других — синее. Вот почему я могу обоснованно говорить о том, что Вселенная представляет собой, скажем, расширяющуюся сферу. Всякий раз, когда я разделяю таким образом пространство и время, я говорю о сопутствующей системе отсчета.

Теперь мы немного отвлечемся от нашей истории, чтобы заглянуть в царство мифологии. Физики и математики нашли решения уравнений поля, соответствующие классическим неевклидовым геометриям. Эти геометрии возникают в пространствах постоянной положительной кривизны (эллиптические), нулевой кривизны (плоское евклидово) и постоянной отрицательной кривизны (гиперболические). Пока все нормально. Но это верное утверждение очень быстро трансформировалось в представление о том, что эти три варианта геометрии — единственные решения с постоянной кривизной для уравнений поля.

Подозреваю, что источник этой ошибки в том, что математики и астрономы слабо общались между собой. Математическая теорема гласит, что для любого фиксированного значения кривизны существует единственная метрика пространства-времени постоянной кривизны; на этом основании очень легко (даже слишком!) решить, что и геометрия тоже должна быть единственной. В конце концов разве метрика не определяет пространство?

Нет.

Гауссов муравей сделал бы ту же ошибку, если бы не знал разницы между плоскостью и цилиндром. Метрика у них одинаковая, а топология — разная. Метрика определяет только локальную , но не глобальную геометрию. Это же различие (и с этими же последствиями) действует и в общей теории относительности.

В качестве исключения и приятного оксюморона можно привести плоский тор. Тор имеет форму бублика с центральным отверстием, и его просто невозможно назвать плоским в обычном смысле этого слова. Тем не менее существует плоское (нулевой кривизны) многообразие с топологией бублика. Возьмем квадрат — он плоский — и концептуально склеим вместе противоположные его стороны. Квадрат для этого не нужно физически сгибать, достаточно объявить тождественными соответствующие точки на противоположных его сторонах, то есть добавить геометрическое правило, согласно которому эти точки представляют собой «одно и то же».

Такого рода отождествление часто используется в компьютерных играх, когда какой-нибудь инопланетный монстр уносится за границу экрана и тут же появляется с другой стороны. Программисты на своем жаргоне называют это «свернуть»: живо и наглядно, но не стоит воспринимать это буквально как указание к действию. Муравей прекрасно понял бы плоский тор: свертывание вертикальных граней превращает экран в цилиндр. Затем вы повторяете эту процедуру и соединяете концы цилиндра, получая при этом поверхность с топологией тора. Его метрика наследуется от квадрата, то есть поверхность остается плоской. У настоящего бублика другая метрика, поскольку его поверхность встроена в евклидово пространство.