Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Рассмотрим еще одну возможность: ∇×( ∇× h) [(д) в списке (2.45)]. Ротор от ротора можно написать иначе, если использовать векторное равенство (2.6)

(2.55)

Заменим в этой формуле Аи Воператором ∇и положим C= h. Получится

Погодите-ка! Здесь что-то не так. Как и положено, первые два члена — векторы (операторы утолили свою жажду), но последний член совсем не такой. Он все еще оператор. Ошибка в том, что мы не были осторожны и не выдержали нужного порядка членов. Вернувшись обратно, вы увидите, что (2.55) можно с равным успехом записать в виде

(2.56)

Такой порядок членов выглядит уже лучше. Сделаем нашу подстановку в (2.56). Получится

(2.57)

С этой формулой уже все в порядке. Она действительно правильна, в чем вы можете убедиться, расписав компоненты. Последний член — это лапласиан, так что с равным успехом можно написать

(2.58)

Из нашего списка (2.45) двойных ∇мы разобрали все комбинации, кроме (в), ∇( ∇· h). В ней есть смысл, это — векторное поле, но больше сказать о ней нечего. Это просто векторное поле, которое может случайно возникнуть в каком-нибудь расчете.

Удобно будет все наши рассуждения свести теперь в таблицу:

(2.59)

Вы могли заметить, что мы не пытались изобрести новый векторный оператор ∇× ∇. Понимаете, почему?

Мы применили наши знания обычной векторной алгебры к алгебре оператора ∇. Здесь нужно быть осторожным, иначе легко напутать. Нужно упомянуть о двух подвохах (впрочем, в нашем курсе они не встретятся). Что можете вы сказать о следующем выражении, куда входят две скалярные функции ψ и φ (фи):

Вы можете подумать, что это нуль, потому что оно похоже на

а это всегда равно нулю (векторное произведение двух одинаковых векторов А× Авсегда нуль). Но в нашем примере два оператора ∇отнюдь не одинаковы! Первый действует на одну функцию, ψ, а второй — на другую, φ. И хотя мы изображаем их одним и тем же значком ∇, они все же должны рассматриваться как разные операторы. Направление ∇ψ зависит от функции ψ, а направление ∇φ — от функции φ, так что они не обязаны быть параллельными:

К счастью, к таким выражениям мы прибегать не будем. (Но сказанное нами не меняет того факта, что ∇φ× ∇ψ=0 в любом скалярном поле: здесь обе ∇действуют на одну и ту же функцию.) Подвох номер два (он тоже в нашем курсе не встретится): правила, которые мы здесь наметили, выглядят просто и красиво только в прямоугольных координатах. Например, если мы хотим написать x-компоненту выражения ∇ 2 h, то сразу пишем

(2.60)

Но это выражение не годится , если мы ищем радиальную компоненту ∇ 2 h. Она не равна ∇ 2h r. Дело в том, что в алгебре векторов все их направления полностью определены. А когда мы имеем дело с векторными полями, то их направления в разных местах различны. Когда мы пробуем описать векторное поле, например, в полярных координатах, то «радиальное» направление меняется от точки к точке. И начав дифференцировать компоненты, вы запросто можете попасть в беду. Даже в постоянном векторном поле радиальная компонента от точки к точке меняется.