Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

(3.2)

Интеграл в (3.1) и подразумевает сумму таких членов.

А теперь посмотрим, почему уравнение (3.1) правильно. В гл. 1 мы показали, что составляющая ∇ψ вдоль малого смещения Δ Rравна быстроте изменения ψ в направлении Δ R. Рассмотрим хорду кривой Δs от точки (1) до точки а на фиг. 3.2.

Фиг. 3.2. Криволинейный интеграл есть предел суммы.

По нашему определению

(3.3)

Точно так же мы имеем

(3.4)

где, конечно, ( ∇ψ) 1означает градиент, вычисленный на хорде Δ s 1, а ( ∇ψ) 2— градиент, вычисленный на Δ s 2. Сложив (3.3) и (3.4), получим

(3.5)

Вы видите, что, продолжая прибавлять такие члены, мы получаем в итоге

(3.6)

Левая часть не зависит от того, как выбирать интервалы — лишь бы точки (1) и (2) были теми же самыми, так что справа можно перейти к пределу. Так доказывается уравнение (3.1). Из нашего доказательства видно, что, подобно тому как равенство не зависит и от выбора точек а, b, с ,..., точно так же оно не зависит от выбора самой кривой Γ. Теорема верна для любой кривой, соединяющей точки (1) и (2).

Два слова об обозначениях. Не будет путаницы, если писать для удобства

(3.7)

Тогда наша теорема примет такой вид:

(3.8)

Прежде чем рассматривать следующую интегральную теорему — теорему о дивергенции,— хотелось бы разобраться в одной идее, смысл которой в случае теплового потока легко усваивается. Мы уже определили вектор h, представляющий количество тепла, протекающего сквозь единицу площади в единицу времени. Положим, что внутри тела имеется замкнутая поверхность S , ограничивающая объем V (фиг. 3.3). Нам хочется узнать, сколько тепла вытекает из этого объема . Мы это можем, конечно, определить, рассчитав общий тепловой поток через поверхность S .

Обозначим через da площадь элемента поверхности. Этот символ заменяет двумерный дифференциал. Если, например, элемент окажется в плоскости ху , то

Позже мы будем иметь дело с интегралами по объему, и тогда будет удобно рассматривать элемент объема в виде малого кубика и обозначать его dV , подразумевая, что

Кое-кто пишет и d 2 a вместо da , чтобы напомнить самому себе, что это выражение второй степени; вместо dV пишут также d 3V. Мы будем пользоваться более простыми обозначениями, а вы уж постарайтесь не забывать, что у площадей бывают два измерения, у объемов — три.

Поток тепла через элемент поверхности da равен произведению площади на составляющую h, перпендикулярную к da . Мы уже определяли n— единичный вектор, направленный наружу перпендикулярно к поверхности (см. фиг. 3.3).

Фиг. 3.3. Замкнутая поверхность S, ограничивающая объем V. Единичный вектор n — внешняя нормаль к элементу поверхности da, а h— вектор теплового потопа сквозь элемент поверхности.

Искомая составляющая hравна

(3.9)

и тогда поток тепла сквозь da равен

(3.10)