Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

(43.21)

или

(43.22)

А что понимать под n -и n +? Когда мы говорим «плотность слева от площадки», то как далеко налево? Мы должны измерить плотность в том месте, откуда молекула отправляется в свой «свободный полет», потому что число стартующих молекул определяется числом молекул, находящихся в этом месте. Таким образом, n -— это плотность молекул на расстоянии длины свободного пробега l слева от нашей воображаемой площадки, а n +— плотность молекул на расстоянии длины свободного пробега справа от нее.

Распределение особых молекул в ящике удобно описывать с помощью непрерывной функции x, y и z , которую мы обозначим n a. Под n a( x, y, z ) нужно понимать плотность особых молекул в маленьком объеме вокруг точки ( x, y, z ). Тогда разность ( n +- n -) можно представить в виде

(43.23)

Подставляя этот результат в (43.22) и пренебрегая множителем 2, получаем

(43.24)

Мы выяснили, что поток особых молекул пропорционален производной плотности, или, как иногда говорят, «градиенту плотности».

Ясно, что мы сделали несколько грубых приближений. Не говоря уже о том, что мы постоянно забывали о множителях, мы использовали v , когда нужно было ставить v x , а разместив объемы, содержащие молекулы n +и n -, на концах перпендикуляров к площадке, взяли перпендикуляры длиной l . Между тем для тех молекул, которые движутся не перпендикулярно к поверхности, l соответствует длине наклонного пути. Можно исправить эти недоделки; более тщательный анализ показал бы, что правую часть уравнения (43.24) нужно умножить на 1/ 3. Итак, более правильный ответ выглядит следующим образом:

(43.25)

Аналогичные уравнения можно написать для токов вдоль y - и z-направлений.

С помощью макроскопических наблюдений можно измерить ток J x и градиент плотности dn a / dx . Их отношение, найденное экспериментально, называется «коэффициентом диффузии» D . Это значит, что

(43.26)

Мы смогли показать, что ожидаемое значение коэффициента D для газа равно

(43.27)

Пока мы изучили в этой главе два разных процесса: подвижность (дрейф молекул под действием «внешней» силы) и диффузию (разбегание молекул, определяемое только внутренними силами, случайными столкновениями). Однако эти процессы связаны друг с другом, потому что в основе обоих явлений лежит тепловое движение, и оба раза в расчетах появлялась длина свободного пробега l .

Если в уравнение (43.25) подставить l = v τ и τ=μm, то получится

(43.28)

Ho mv 2зависит только от температуры. Мы еще помним, что

(43.29)

так что

(43.30)

Таким образом, D , коэффициент диффузии , равен произведению kT на μ, коэффициент подвижности :

(43.31)

Оказывается, что (43.31) — это точное соотношение между коэффициентами. Хотя мы исходили из очень грубых предположений, не нужно к нему добавлять никаких дополнительных множителей. Можно показать, что (43.31) в самом деле всегда удовлетворяется точно. Это верно даже в очень сложных случаях (например, для случая взвешенных в жидкости мелких частиц), когда наши простые вычисления явно отказываются служить.