Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Посмотрим, что будет, когда на систему действует внешняя сила. Предположим, что нам встретилось уравнение

(25.6)

и мы нашли его частное решение. Назовем его решением Джо x Д, т. е. _ L ( x Д )= F ( t ). Хотелось бы найти еще одно решение этого уравнения. Добавим к решению Джо какое-нибудь решение свободного уравнения (25.5), например x 1. Тогда, вспомнив о (25.3), получим

(25.7)

Следовательно, добавив к решению уравнения (25.6) любое «свободное» решение, мы получим новое решение. Свободное решение называют еще переходным решением.

Если неожиданно включить внешнюю силу, то движение осциллятора не сразу будет описываться равновесным (синусоидальным) решением: сначала к нему будут примешиваться переходные решения, которые, если подождать подольше, в конце концов «вымрут». Равновесное решение «выживет», потому что только оно соответствует внешней силе. В конце концов это будет единственным решением, но начальные движения системы зависят от того, какие обстоятельства сопутствуют включению силы.

Перейдем теперь к другой интересной проблеме. Предположим, что нам задана какая-нибудь внешняя сила F a (например, периодическая сила с частотой ω=ω а, но наши выводы будут верны для любой зависимости силы от времени) и мы нашли движение, соответствующее этой силе (переходные движения можно учитывать или не учитывать, это неважно). Предположим, что мы решили еще одну задачу — нашли движение в случае действия силы F b . После этого предположим, что кто-то вбежал в комнату и сказал: «На контрольной задают задачу с силой F a + F b . Что нам делать?» Конечно, мы решим эту задачу — ведь мы сразу обнаружим одно замечательное свойство: сумма решений х а и х b , получаемых в том случае, если брать силы по отдельности, будет решением новой задачи. Для этого надо только вспомнить о (25.3):

(25.8)

Это пример того, что называют принципом суперпозиции для линейных систем, и это очень важная вещь. Дело обстоит так: если мы сможем представить сложную силу в виде суммы нескольких более простых сил и сможем решить уравнение для каждой силы в отдельности, то мы сможем решить и первоначальное уравнение, потому что для этого надо просто объединить куски решения так же, как мы объединяли отдельные силы, чтобы получить полную силу (фиг. 25.1).

Фиг. 25.1. Пример принципа суперпозиции для линейных систем.

Еще один пример принципа суперпозиции. В гл. 12 (вып. 1) говорилось об одном из важнейших фактов, вытекающих из законов электричества. Если нам задано распределение зарядов q a , можно найти электрическое поле Е a, порождаемое этими зарядами в точке Р . Другое распределение зарядов q b порождает в этой же точке поле E b. Оба эти распределения, действуя вместе, породят в точке Р поле Е, которое представляет собой сумму полей Е аи Е b. Иначе говоря, поле, соответствующее совокупности многих зарядов,— это векторная сумма полей, соответствующих отдельным зарядам. Аналогия с предыдущим примером бросается в глаза: ведь если мы знаем результат действия отдельных сил, то отклик на силу, являющуюся суммой этих сил, будет суммой отдельных откликов.

Фиг. 25.2. Принцип суперпозиции в электростатике.

Причина справедливости принципа суперпозиции в электричестве состоит в том, что основные законы электричества, определяющие электрическое поле (уравнения Максвелла), — это линейные дифференциальные уравнения, обладающие свойством (25.3). Силам в этих уравнениях соответствуют заряды , порождающие электрическое поле, а уравнения, определяющие электрическое поле по заданным зарядам,— линейные уравнения.