Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Фиг. 23.3. График зависимости θ от ω.

Иногда приходится иметь дело с формулой, немного отличающейся от (23.8); она тоже называется «резонансной» и, несмотря на некоторое отличие от (23.8), описывает те же самые явления. Дело в том, что если значение γ очень мало, то наиболее интересная область резонансной кривой лежит около частоты ω=ω 0, а здесь при малых γ формулу (23.8) с большой степенью точности можно заменить приближенной формулой. Поскольку ω 2 0-ω 2=(ω 0-ω)(ω 0+ω), то для ω, очень близких к ω 0, разность квадратов почти равна 2ω 0(ω 0-ω), а γω можно заменить на γω 0. Значит, ω 2 0-ω 2+γω≈2ω 0(ω 0-ω+iγ/2) и

Легко найти и ρ 2:

А теперь решите сами такую задачу: с увеличением частоты значение ρ 2сначала растет, достигает при ω 0максимума, а потом снова убывает. На каком расстоянии от ω 0расположены частоты, которым соответствуют значения ρ 2, вдвое меньшие максимального? Покажите, что при очень малом γ эти точки отстоят друг от друга на расстояние Δω=γ. Это значит, что резонанс делается более острым по мере того, как влияние трения становится все слабее и слабее.

Другой мерой ширины резонанса может служить «добротность» q=ω 0/γ (чем уже резонанс, тем больше Q ); если Q=1000, то по шкале частот ширина резонансной кривой равна всего 0,001. Резонансной кривой на фиг. 23.2 соответствует Q =5.

Явление резонанса важно потому, что оно проявляется довольно часто; описанию некоторых видов этих проявлений мы посвятим остаток главы.

Простейшие и самые широкие технические применения резонанс нашел в электричестве. Имеется довольно много устройств, из которых собираются электрические цепи. Их часто называют пассивными элементами цепи , и бывают они трех типов, хотя в каждый элемент одного типа всегда примешано чуточку элементов других типов. Прежде чем подробно описать эти элементы, заметим, что наше представление о механическом осцилляторе как о массе, подвешенной к концу пружины, всего лишь приближение. В «массе» сосредоточена вовсе не вся масса системы: пружина тоже обладает какой-то массой, пружина тоже инерционна. Точно так же «пружина» не состоит из одной пружины, масса тоже немного упруга, а не абсолютно тверда, как это может показаться. Подпрыгивая вверх и вниз, она слегка изгибается под толчками пружины. Так же обстоит дело и в электричестве. Расположить все предметы по «элементам цепи» с чистыми, идеальными характеристиками можно только приближенно. Так как у нас нет времени обсуждать пределы таких приближений, мы просто предположим, что они допустимы.

Итак, о трех элементах цепи. Первый называется емкостью (фиг. 23.4); в качестве примера емкости могут служить две металлические пластинки, разделенные тонким слоем диэлектрика.

Фиг. 23.4. Три пассивных элемента цепи.

Если пластинки зарядить, то между ними возникает разность потенциалов. Та же самая разность потенциалов будет между точками А и В , потому что при любой дополнительной разности потенциалов вдоль соединительных проводов заряды стекут по проводам. Таким образом, заданной разности потенциалов V между пластинками соответствуют определенные заряды + q и - q на каждой пластинке. Между пластинками существует некое электрическое поле; мы даже вывели соответствующую формулу для него (см. гл. 13 и 14)

(23.14)

где d — расстояние между пластинками, A — площадь пластинок. Заметим, что разность потенциалов линейно зависит от заряда. Если построить емкость не из параллельных пластин, а придать отдельным электродам какую-нибудь другую форму, разность потенциалов будет по-прежнему пропорциональна заряду, но постоянную пропорциональности не так-то легко будет рассчитать. Однако надо знать только одно: разность потенциалов между концами емкости пропорциональна заряду V = q / C ; множитель пропорциональности равен 1/ С ( С и есть емкость объекта).