Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного числа, которое состоит из действительной и мнимой частей и которое можно изобразить на графике. Действительная часть числа будет изображаться абсциссой, а мнимая — ординатой. Комплексное число а можно записать в виде a = a r + ia i ; при такой записи индекс r отмечает действительную часть а, а индекс i — мнимую. Взглянув на фиг. 23.1, легко сообразить, что комплексное число a = x + iy можно записать и так: x + iy = rexp ( i θ), где r 2= x 2+ y 2=( x + iy )( x - iy )= aa *(а *— это комплексно сопряженное к а число; оно получается из а изменением знака i ).

Фиг. 23.1. Комплексное число, изображенное точкой на «комплексной плоскости».

Итак, комплексное число можно представить двумя способами: явно выделить его действительную и мнимую части или задать его модулем r и фазовым углом θ. Если заданы r и θ, то х и у равны rcosθ и rsinθ, и, наоборот, исходя из числа x + iy , можно найти r =√( x 2+ y 2)и угол θ; tgθ равен у / х (т. е. отношению мнимой и действительной частей).

Чтобы применить комплексные числа к решению физических задач, проделаем такой трюк. Когда мы изучали осциллятор, то имели дело с внешней силой, пропорциональной cosωt. Такую силу F = F 0 cos ω t можно рассматривать как действительную часть комплексного числа F =F 0exp(iωt), потому что exp(iωt)=cosωt+isinωt. Такой переход удобен: ведь иметь дело с экспонентой легче, чем с косинусом. Итак, трюк состоит в том, что все относящиеся к осциллятору функции рассматриваются как действительные части каких-то комплексных функций. Найденное нами комплексное число F , разумеется, не настоящая сила, ибо физика не знает комплексных сил: все силы имеют только действительную часть, а мнимой части взяться просто неоткуда. Тем не менее мы будем говорить «сила» F 0 exp ( i ω t ), хотя надо помнить, что речь идет лишь о действительной ее части .

Рассмотрим еще один пример. Как представить косинусоидальную волну, фаза которой сдвинулась на Δ? Конечно, как действительную часть F 0 exp [ i ((ω t -Δ 2)]; экспоненту в этом случае можно записать в виде exp[i(ωt-Δ)]=exp(iωt)exp( -iΔ). Алгебра экспонент гораздо легче алгебры синусов и косинусов; вот почему удобно использовать комплексные числа. Часто мы будем писать так:

(23.1)

Шляпка над буквой будет указывать, что мы имеем дело с комплексным числом, т. е.

Однако пора начать решать уравнения, используя комплексные числа, тогда мы увидим, как надо применять комплексные числа в реальных обстоятельствах. Для начала попытаемся решить уравнение

(23.2)

где F — действующая на осциллятор сила, а х — его смещение. Хотя это и абсурдно, предположим, что х и F — комплексные числа. Тогда х состоит из действительной части и умноженной на i мнимой части; то же самое касается и F . Уравнение (23.2) в этом случае означает

или

Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; следовательно, действительная, часть х удовлетворяет уравнению, в правой части которого стоит действительная часть силы . Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда , а только в случае линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих х лишь в нулевой и первой степенях. Например, если бы уравнение содержало член λ х 2, то, сделав подстановку x r + ix i , мы получили бы λ( x r + ix i ) 2, и выделение действительной и мнимой частей привело бы нас к λ( х r 2- x i 2) и 2iλx rx i. Итак, мы видим, что действительная часть уравнения содержит в этом случае член -λ x i 2. Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.