Александр Львовский - Отличная квантовая механика

Подсказка:если вам кажется, что ответ очевиден, загляните в решение.

Мы начнем изучение квантовой механики с одной из простейших физических систем: поляризации фотона [6] Если вы не знакомы с понятием поляризации электромагнитной волны, то теперь самое время прочесть первые два раздела приложения В. . Размерность гильбертова пространства этой системы равна всего лишь двум, но этого вполне достаточно, чтобы показать, насколько поразительным может быть мир квантовой механики.

Предположим, что мы в состоянии выделить единичную частицу света — фотон — из поляризованной волны. Фотон — микроскопический объект, поэтому рассматривать его следует в рамках квантовой механики. Начнем с того, что определим связанное с ним гильбертово пространство. Для начала отметим, что горизонтально поляризованное состояние фотона, которое мы обозначим | H ⟩, несовместимо с его вертикально поляризованным состоянием | V ⟩: фотон | H ⟩ невозможно обнаружить в состоянии | V ⟩. То есть если мы приготовим горизонтально поляризованный фотон и прогоним его через поляризующий светоделитель (PBS, polarizing beam splitter ) — оптический элемент, описанный в разд. В.2, то данный фотон во всех случаях будет проходить насквозь, а отражаться не будет никогда. Это означает, что состояния | H ⟩ и | V ⟩ ортогональны.

Мы постулируем, что световая волна, электрическое поле которой задано в виде функции координаты и времени [см. (В.2)]

(с действительными A H,Vи ϕ H,V), состоит из фотонов в состоянии [7] Может показаться удивительным, что уравнение (1.2) не несет никакой информации о координате фотона по оси z . Причина в том, что этот фотон, будучи квантовой частицей, размазан в пространстве и времени. К факторам, влияющим на степень размазанности, относятся, в частности, характеристики источника, а также «объем квантования», выбранный для теоретического анализа. В случае лазерного луча длина фотона ограничивается длиной когерентности лазера, которая может составлять не один километр. В данной книге мы, как правило, будем считать, что фотоны размазаны на расстояние, намного превышающее размер любого прибора, и потому могут рассматриваться как бесконечно большие.

Отступление 1.1.Открытие фотона

В 1900 г. Макс Планк объяснил экспериментально наблюдаемый спектр излучения абсолютно черного тела, введя понятие кванта света, который мы сегодня знаем как фотон [8] M. Planck, Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum , Annalen der Physik 4 , 553 (1901). . Он обнаружил, что хорошее совпадение теории и эксперимента можно получить, если считать, что энергия фотона пропорциональна частоте ω световой волны. Коэффициент пропорциональности ℏ = 1,05457148 × 10 −34получил название постоянной Планка.

В 1905 г. Альберт Эйнштейн еще раз подтвердил обоснованность формулы Планка

E = ℏω,

воспользовавшись ей для количественного объяснения экспериментальных результатов по фотоэлектрическому эффекту (более подробно см. отступление 4.6 [9] A. Einstein, Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt , Annalen der Physik 17 , 132 (1905). . Позже, в 1916 г., Эйнштейн сделал вывод, что, поскольку из классической электродинамики [10] Это явление выражается, в частности, в эффекте давления света, который экспериментально наблюдал Петр Лебедев в 1900 г. известно, что электромагнитный волновой пакет, несущий энергию E , несет также импульс p = E/c , это же соотношение должно выполняться и для фотонов. По формуле Планка он нашел [11] Выражение для импульса фотона можно получить также следующим образом. Воспользовавшись знаменитым уравнением Эйнштейна E = mc 2 и формулой Планка, мы можем рассчитать массу фотона M = ℏω/ c 2 . Фотон движется со скоростью света, следовательно, его импульс равен p = Mc = ℏω/ c . p = ℏω/ c . Выразив частоту волны через ее длину, он получил ω = 2πc/λ, а затем записал

p = 2πℏ/λ.

Артур Холли Комптон в 1923 г. использовал результаты Эйнштейна для теоретического объяснения собственных экспериментов, в которых он исследовал рассеяние рентгеновских лучей на свободных электронах [12] A. H. Compton, A Quantum Theory of the Scattering of X-Rays by Light Elements , Physical Review 21 483 (1923). . Рассматривая фотоны рентгеновского излучения как частицы высоких энергий, он применил законы сохранения энергии и импульса к столкновению между фотоном и электроном, чтобы рассчитать энергию рассеянных фотонов в зависимости от угла рассеяния. Затем он соотнес эту энергию с длиной волны — и получил теоретическое описание для своих экспериментальных данных. Увиденное им превосходное совпадение тех и других стало служить наглядным доказательством существования фотона.