Стивен Вайнберг - Первые три минуты [litres]

λ = 2014052 hc / kT ,

а затем на коротких волнах следует крутой спад. Полная плотность энергии излучения абсолютно черного тела выражается через интеграл:

Интегралы такого вида легко найти в стандартных таблицах определенных интегралов. После интегрирования получаем:

Эта формула выражает закон Стефана – Больцмана.

Распределение Планка легко переписать в терминах квантов света – фотонов. Энергия фотона вычисляется по формуле

E = hc / λ.

Следовательно, число фотонов чернотельного излучения dN в единице объема и в узком интервале длин волн от λ до λ + dλ равно:

Тогда полное число фотонов в единице объема:

а средняя энергия фотона:

Е ср.= и / N = 3,73 ×10¯ 16 [T (K)] эрг.

Теперь рассмотрим, что происходит с чернотельным излучением в расширяющейся Вселенной. Допустим, размер последней увеличился в f раз. Например, если Вселенная расширилась в два раза, то f = 2. Как мы знаем из главы 2, все длины волн пропорционально возрастут до значения:

λ' = f λ.

В конечном состоянии плотность энергии du' в новом интервале длин волн от λ ' до λ' + dλ' меньше по сравнению с первоначальной плотностью энергии du в старом диапазоне длин волн от λ до λ + dλ по двум причинам:

1. Поскольку объем Вселенной вырос в f 3раз, а фотоны никуда не исчезают и ниоткуда не появляются, то их число в единице объема упало в 1/ f 3 раз.

2. Энергия одного фотона обратно пропорциональна длине волны, и, значит, она уменьшилась в 1/ f раз. Следовательно, полная плотность энергии уменьшилась в 1/ f 4раз (1/ f 3умножить на 1/ f ):

Переписывая эту формулу через новую длину волны λ', получим:

Но это опять та же самая формула для du в зависимости от λ и d λ, только вместо температуры Τ стоит новая температура:

Τ' = Τ / f .

Таким образом, приходим к заключению: свободно расширяющееся чернотельное излучение в любой момент времени описывается формулой Планка с температурой, обратно пропорциональной коэффициенту расширения.

Чтобы из сгустка вещества образовалась гравитационно связанная система, его гравитационная потенциальная энергия должна превосходить энергию теплового движения. Гравитационная потенциальная энергия сгустка радиуса r и массы M по порядку величины равна:

Внутренняя энергия в единице объема пропорциональна давлению р , поэтому полную внутреннюю энергию можно оценить как:

Гравитационные силы будут преобладать над силами давления, если

Но для заданной плотности ρ мы можем выразить r через M , пользуясь соотношением

Таким образом, условие гравитационного скучивания приобретает вид

или по-другому:

М >> М j,

где M J (с точностью до несущественного численного множителя) называется массой Джинса :

Например, непосредственно перед рекомбинацией водорода плотность равнялась 9,9 × 10¯ 22г/см 3(см. математическую заметку 3 на с. 237), а давление: