Андрей Варламов - Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий

Кристаллография не является исключительно экспериментальной наукой, она также опирается на математику: многие свойства кристаллов доказываются как теоремы. Одно из них касается кристаллической решетки – трехмерных «строительных лесов», на которых расположены атомы, ионы или молекулы кристалла. Задолго до исследований фон Лауэ минералоги старались подсчитать и классифицировать различные типы кристаллических решеток. Особенный случай – тот, при котором ячейка имеет лишь один атом: такая решетка называется решеткой Браве (илл. 5). Каждая такая решетка характеризуется набором геометрических преобразований (поворотов, инверсий, отражений в плоскости), которые оставляют ее неизменной. Существует только 14 типов решеток Браве, что было математически доказано французским физиком Огюстом Браве в 1848 году.

Вообще говоря, геометрические преобразования, которые оставляют произвольную кристаллическую решетку неизменной, ограничены. Например, вращение пятого порядка (то есть на 72° = 360°/5) в бесконечном кристалле, как мы увидим ниже, невозможно.

5. Три элементарные ячейки, образующие путем многократного повторения в пространстве три различных типа решеток Браве. Ячейки, изображенные на двух рисунках справа, не являются элементарными, простое повторение которых может воспроизвести полную решетку. Например, в объемноцентрированной кубической решетке элементарная ячейка представляет собой непрямоугольный параллелепипед, имеющий в качестве основания квадрат ABCD, и одна из его вершин E является центром куба

Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах

Какой же физический принцип лежит в основе изучения структуры кристаллов посредством метода дифракции рентгеновских лучей? Когда на кристалл падает излучение, длина волны λ которого равна расстоянию между атомами (доли нанометра), то имеет место явление, аналогичное тому, которое возникает при прохождении пучка световых лучей через отверстия Юнга (см. главу 3, «Интерференция и когерентность»): атомы кристалла рассеивают рентгеновские лучи, также как щели Юнга рассеивают свет. Кристалл ведет себя как регулярная решетка, образованная из большого количества щелей Юнга (см. илл.). Лучи, рассеянные атомами, интерферируют.

В любой нерегулярной среде такая интерференция обычно деструктивна: рассеиваемые волны практически полностью гасят друг друга, за исключением направления распространения падающего луча. В кристалле же, из-за периодичности структуры, помимо направления распространения падающего луча, существуют различные другие выделенные направления, для которых волны, переизлучаемые атомами, находятся в фазе. Наличие таких направлений указывает на существование плоскостей, проходящих через большое количество точек кристаллической решетки, так называемых кристаллографических плоскостей.

Конструктивная интерференция возникает тогда, когда рассеянные лучи удовлетворяют равенству, называемому условием Вульфа – Брэгга:

2 d sin θ = n λ,

где d – расстояние между двумя кристаллографическими плоскостями, θ – угол между падающим лучом и кристаллографической плоскостью и n – любое целое число.

На опыте при использовании условия Вульфа – Брэгга положение кристалла остается неизменным по отношению к направлению пучка падающих рентгеновских лучей, а изменяется длина волны последних. Помещая на пути рассеянных рентгеновских лучей фотографическую пластину, ученые получают дифрактограмму, подобную приведенной здесь: светлые пятна соответствуют направлениям, для которых выполняется условие Вульфа – Брэгга. Этот метод был разработан Максом фон Лауэ (1879–1960) и принес ему Нобелевскую премию по физике 1914 года.

Независимо от направления кристаллографических плоскостей всегда существует такое значение длины волны излучения, которое позволяет удовлетворить условию Вульфа – Брэгга. Изучая дифрактограмму, мы можем найти расстояние d между кристаллографическими плоскостями и определить структуру кристалла, если она достаточно проста. В более сложных случаях необходимо не только определить сами направления конструктивной интерференции, где интенсивность излучения отлична от нуля, но и измерить величину последней.

Принцип дифракции рентгеновских лучей на кристаллах.Источник S испускает рентгеновские лучи в направлении кристалла под углом θ к кристаллографическим плоскостям. Наблюдатель в точке O регистрирует интенсивность полученного луча. Две кристаллографические плоскости отстоят на расстояние d , которое соответствует условию Вульфа – Брэгга