Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 3. Электричество и магнетизм. Атомы и ядра

Фиг. 86. Поляризация молекулы.

Экспериментальное подтверждение закона обратной пропорциональности квадрату расстояния

Вместо измерения силы взаимодействия между двумя малыми зарядами закон обратной пропорциональности квадрату расстояния можно проверить косвенным, но не менее надежным путем, проделав удивительно простой решающий эксперимент. Если этот закон справедлив, то внутри пустой металлической коробки электрическое поле отсутствует, как бы сильно она ни была заряжена , и наоборот. Возьмите замкнутую металлическую коробку любой формы — цилиндрический стакан, полый шар, куб — и сообщите ей большой заряд. Затем выясните, что делается внутри коробки: есть ли там электрическое поле. Проверьте, если хотите, есть ли внутри коробки заряды, ибо там, где есть электрические заряды, должно быть и поле. Опыт показывает, что внутри коробки нет зарядов (если только не ввести внутрь дополнительные заряды с каким-либо предметом, укрепив его на изолирующей опоре ) и нет электрического поля. Вам следует самим посмотреть, как проделывается этот опыт. Можно произвести его с небольшой полой металлической сферой и пробными шариками. А можно последовать примеру Фарадея, который забирался в большую проволочную клетку, предварительно заряженную. Несмотря на то что с внешней поверхности клетки вылетали искры, внутри не удавалось обнаружить никаких эффектов. Опыт простой и очевидный, но почему он подтверждает справедливость закона обратной пропорциональности квадрату расстояния?

Фиг. 87. Проверка закона обратной пропорциональности квадрату расстояния.

Мы рассмотрим доказательство для полого шара, хотя его можно распространить на замкнутую проводящую коробку любой формы. Мы избрали геометрическое тело, которое служит символом совершенства, — им, как вы увидите, давно пользовался Ньютон для гравитационного варианта этой задачи. Предположим, что шар, показанный в разрезе на фиг. 88, заряжен положительно.

Фиг. 88. Электрическое поле внутри заряженного металлического шара.

Из соображений симметрии можно заключить, что заряд равномерно распределен по всей его поверхности. Допустим, что некий наблюдатель пытается обнаружить электрическое поле в точке D внутри шара. Он видит область Р 1поверхности шара в пределах узкого конуса. Эта область несет заряд Q 1который отталкивает положительный пробный заряд q наблюдателя в точке D . Если рассматривать заряд Q 1то в точке D его поле отлично от нуля и направлено вдоль P 1 D . Но, обернувшись назад, наблюдатель увидит противоположную область поверхности шара Р 2, заряд которой Q 2тоже вносит вклад в поле в точке D , но действует на пробный заряд в противоположном направлении. Теперь наблюдатель определяет границы обеих областей более тщательно, построив конус с вершиной в D и основанием Р 1и аналогичный конус с основанием Р 2. Можно показать, что действия зарядов Q 1и Q 2в точности гасят друг друга. Если наблюдатель в D ближе к Р 2, чем к Р 1, то площадь области Р 2будет меньше и будет содержать меньший заряд. Значит, Q 2меньше Q 1, и с этой точки зрения должен действовать на пробный заряд в точке D с меньшей силой. Но по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния заряд Q 2, находящийся ближе, должен действовать на пробный заряд в точке D с большей силой, чем Q 1. Покажем, что оба фактора компенсируют друг друга. При равномерном распределении заряда по всей сфере — это обусловлено симметрией — заряд на одном квадратном сантиметре поверхности сферы будет всюду одинаков; заряд, приходящийся на два квадратных сантиметра, будет вдвое больше и т. д. Заряды областей Р 1и Р 2будут пропорциональны их площадям. Поскольку обе области выделены конусами с одинаковыми углами при вершине, их площади пропорциональны квадратам расстояний их от D [55]:

ПЛОЩАДЬ Р 1/ПЛОЩАДЬ Р 2= d 1 2/ d 2 2 из геометрии.

Следовательно,

Q 1/ Q 2= d 1 2/ d 2 2

Если закон Кулона справедлив, то следует ожидать, что силы, с которыми Q 1и Q 2действуют на очень малый пробный заряд q , равны ∙ Q 1∙ q/ d 1 2 и ∙ Q 2∙ q/ d 2 2. Но мы показали, что Q 1и Q 2 пропорциональны d 1 2и d 2 2. Поэтому запишем вместо Q 1и Q 2 K ∙ d 1 2и K ∙ d 2 2. Тогда силы, действующие на пробный заряд q , будут равны