Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Мы уже видели пример ведущей и контролирующей роли симметрии. Мы видели в главе 3, что сохранение энергии является следствием однородности времени. Следствием того, что время является гладким, не состоящим из кусков — более формально, время является трансляционно инвариантным, — является то, что энергия сохраняется. Мы видели также, что сохранение импульса является следствием гладкости пространства — того, что пространство трансляционно инвариантно при отсутствии сил — и что сохранение момента импульса является следствием изотропности пространства — того, что пространство инвариантно относительно вращений при отсутствии вращающих моментов. Отсутствие кусковатости у пространства и времени является проявлением их симметрии, поэтому мы видим, что эти могущественные законы сохранения вытекает из симметрии. Эмми Нётер (1882-1935), наиболее выдающаяся и авторитетная из когда-либо родившихся на свет женщина-математик, установила результат огромной важности, известный теперь, как теорема Нётер, о том, что там, где существует симметрия, всегда есть соответствующий ей закон сохранения.

Некоторые симметрии скрыты от прямого наблюдения, но все равно имеют соответствующие им следствия. Теперь все, что я попрошу вас делать, это отмечать совпадения и задавать себе вопрос, не являются ли они следствием симметрии. Знаком того, что под поверхностью явлений скрывается симметрия, является точное равенство энергий различных конфигураций частиц: если две конфигурации связаны преобразованием симметрии, то энергия этих двух конфигураций одинакова. Мы столкнулись с особенно подходящим примером в главе 5, когда увидели, что в атоме водорода энергия электрона, который находится на s -орбитали, является точно такой же, как энергия электрона, находящегося на p -орбитали той же оболочки. s -орбиталь является сферической, а p -орбиталь имеет две доли, поэтому, хотя легко увидеть, что p -орбиталь можно повернуть и получить другую p -орбиталь, совсем не очевидно, что p -орбиталь можно повернуть так, чтобы получить s -орбиталь. Я уже упоминал, что потенциальная энергия — энергия, связанная с положением электрона в электрическом поле ядра, так называемая кулоновская потенциальная энергия — является в некотором специальном смысле красивой, и теперь я могу объяснить, что я имею в виду.

Кулоновская потенциальная энергия сферически симметрична. То есть, куда бы мы ни поместили электрон на заданном расстоянии от ядра — на северном или южном полюсе, на экваторе или где-нибудь между ними — его потенциальная энергия будет в точности той же самой. Потенциальная энергия меняется с расстоянием от ядра, но при заданном расстоянии она независима от угла. Эта сферическая симметрия говорит нам, что преобразования симметрии атома включают вращения на любой угол относительно любой оси, в точности как симметрические операции для сферы. Раз это так, три p -орбитали могут быть переведены одна в другую преобразованием симметрии сферы, поэтому их энергии одинаковы. Однако все еще кажется, что мы не можем перевести поворотом s -орбиталь в p -орбиталь.

Вот необычайный факт: кулоновская потенциальная энергия великолепна, в том смысле, что она имеет вращательную симметрию не только в трех измерениях (как мы уже видели), но также и в четырех. Эта более высокая симметрия означает, что в четырех измерениях может существовать вращение, которое превращает трехмерную s -орбиталь в трехмерную p -орбиталь. Если это так и мы можем вращением превращать различные орбитали друг в друга, то они будут иметь одинаковую энергию.

Я понимаю, что, ожидая от вас мышления в четырех измерениях, я перешел бы границы дозволенного (по крайней мере, пока мы не доберемся до главы 9) и сейчас не стану требовать от вас этого. В качестве компенсации я использую простую аналогию. Представьте себе сферу, покоящуюся на плоскости. Плоскость представляет наш трехмерный мир, а сфера представляет четырехмерный мир, только проекция которого нам видна. Предположим, что мы окрасили северную половину сферы в черный цвет, а южную половину в белый. Мы можем провести линию от северного полюса и спроецировать с ее помощью поверхность сферы на плоскость. Эта проекция окрашенной сферы имеет вид круга (рис. 6.7). Затем повернем сферу на 90° в положение, показанное во второй части иллюстрации. Новая проекция делит плоскость на две половины, черную и белую. Другая ориентация сферы показана в третьей части иллюстрации и имеет такую же проекцию, но повернутую на 90°. Мы, плоскомирцы, находим вполне правдоподобным, что вторая и третья проекции связаны вращением, поэтому мы не удивляемся, что эти « p -орбитали» имеют одинаковую энергию. Однако, нас поистине озадачит тот факт, что их можно преобразовать в первую, круглую форму, поэтому мы не можем понять, что « s -орбиталь» имеет такую же энергию, как и две p -орбитали. У наблюдателя из трех измерений нет таких хлопот: этот наблюдатель видит, что все наши картинки из Плоскомирья, как проекции сферы, связаны простым вращением. Точно такие же соображения приложимы к орбиталям атома водорода, и мы видим, что равенство энергий у не связанных с виду орбиталей является следствием их симметрии, спрятанной в четвертом измерении.