Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Узоры, тянущиеся через пространство, описываются пространственными группами. Здесь нам придется прибегнуть к небольшому надувательству и представить себе узоры, бесконечно тянущиеся в любом направлении, или представить себе, что мы настолько близоруки, что не можем увидеть происходящее на краях узора. Узоры, действительно тянущиеся бесконечно в одном измерении, называются фризовыми узорами , поскольку они проявляют свойства симметрии, типичные для фризов. Формальное определение фриза в классической архитектуре таково: это горизонтальная полоса, образующая центральную часть антаблемента, часть структуры, поддерживаемая колоннами и лежащая между архитравом и карнизом. Менее формально, фриз это любая горизонтальная декоративная полоса с мотивом, регулярно повторяющимся по всей ее длине. Тут спящий гигант теории групп открывает один глаз и выдает нам первый из своих замечательных инсайтов: существует только пять возможных вариантов фриза . Все фризы, которые когда-либо были созданы и которые когда-либо могут быть созданы, можно классифицировать как один из пяти различных вариантов (рис. 6.2). Конечно, мотивы могут быть разными — стрелки из лука, ромбы, козлики, завиточки, — но если рисунок периодически повторяется (что исключает фризоподобные виды элгинского мрамора, где узор не повторяется), его организация в пространстве ограничена этими пятью вариантами.

Рис. 6.2.Эти формы символизируют пять узоров фриза, допустимых в одномерном случае. Существуют различные мотивы, поскольку квадрант, показанный здесь в различных ориентациях, может быть заменен любым рисунком, но эти пять узоров исчерпывают все возможные регулярные фризы.

Это лишь первый проблеск тех головокружительных глубин, в которые может проникать теория групп. Упоминание о колоссальном интеллектуальном прыжке (к которому я намерен подвести вас более маленькими шагами по мере разворачивания этой главы, но сейчас будет полезно узнать, куда мы направляемся), может быть, даст нам возможность согласиться с тем, что, так же как симметрия ограничивает число возможных структур в пространстве, может оказаться, что симметрия пространства-времени — что бы это ни означало — ограничивает число типов элементарных частиц, которым позволено существовать. Симметрия ставит пределы.

Пока архитектура проходила путь от греческого храма до бунгало, она пришла в упадок настолько, что, упразднив требование антаблемента и фриза, открыла дорогу обоям. Узоры на обоях тянутся бесконечно в двух измерениях, и вариации этих узоров — ленточки, розочки, павлины — и их цвета заполняют рекламные буклеты декораторов интерьера и производителей обоев. Однако теория групп открывает ужасную правду: существует только семнадцать вариантов обойных узоров .

Мы можем выразиться несколько более точно. Под словом сеть мы будем понимать совокупность точек, которые представляют места расположения павлинов или чего-то еще, чему вкус предписывает быть мотивом узора. Узор обоев является комбинацией мотива и сети. Так, все павлины в чередующихся точках сети могут сидеть вертикально, или в этих точках могут чередоваться павлины, сидящие прямо и павлины опасным образом опрокинутые. Учитывая эту разницу, теория групп показывает, что существует только пять типов сети и семнадцать комбинаций сети и мотива (рис. 6.3). Будет интересным упражнением исследовать обои в комнатах, которые вы посещаете, узор брусчатки дворов, которые вы пересекаете, черепицу на крышах или даже узор (если он периодичен) вашего галстука, чтобы определить вашу способность идентифицировать сеть (это обычно легко) и общий узор (что более головоломно, так как некоторые мотивы являются весьма изощренными). Вы никогда не обнаружите периодический узор, который не был бы одним из набора семнадцати узоров, определенного в теории групп как полная Вселенная дизайна обоев.

Рис. 6.3.Эти узоры показывают пять видов сетей, возможных для двумерных обоев. Для получения реального рисунка к каждой точке можно прикрепить образ, но даже тогда оказывается, что существует всего семнадцать возможных схем.

Рассмотрим теперь трехмерную упаковку узоров, заполняющую все пространство. В повседневном опыте встречается простейший из всех узоров, в котором кубические кусочки сахара упакованы вместе в коробку, или — с несколько более низким уровнем симметрии, поскольку сложенные предметы теперь не являются кубами — сложены вместе спичечные коробки (рис. 6.4). Здесь мы можем заметить, что, в зависимости от деталей, которые мы рассматриваем, мы можем приписать объекту различные типы симметрии. Один тип симметрии мы припишем стопке безличных спичечных коробков, но если мы примем во внимание оформление коробков и, возможно, ориентацию спичек в них, то это заставит нас приписать упаковке несколько более низкий уровень симметрии.