Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Рис. 6.1.Некоторые из преобразований симметрии для куба. Куб выглядит неизмененным, когда мы вращаем его на 90° или 180° вокруг осей, перпендикулярных каждой грани, и на 120° или 240° вокруг осей, проходящих через противоположные углы. Он также выглядит неизмененным при отражении относительно любой из изображенных здесь плоскостей. Есть еще два преобразования симметрии: инверсия относительно центра куба и тождественное преобразование (ничегонеделание).

С определенной формальной точки зрения симметрично все. Это так, потому что в число рассматриваемых преобразований симметрии мы включили тождественное преобразование; ведь даже самые несимметричные объекты — смятый газетный лист, например, — как мы можем проверить, выглядят также, если мы откроем глаза после того, как с ними ничего не было сделано. В данный момент это может показаться жульничеством, что, конечно, так и есть. Однако включение тождественного преобразования вводит все объекты в сферу действия математической теории симметрии, так что мы можем пользоваться соображениями симметрии при обсуждении чего угодно, а не только объектов, о которых мы думаем, как о «симметричных». Математика вообще действует таким образом: она обобщает определения, чтобы ее теоремы могли охватить настолько большую область, насколько это возможно. Конечно, хотя все и симметрично (в этом формальном смысле), некоторые вещи более симметричны, чем другие. «Более симметричные» просто означает, что существует больше способов их изменения, таких, что, когда мы откроем глаза, мы не сможем сказать, было произведено действие или нет. Сфера более симметрична, чем куб, а куб более симметричен, чем пальма. Как можно видеть, теперь мы способны упорядочить объекты в соответствии со степенью их симметрии: аромат симметрии обретает число.

Математическая теория симметрии, в которой этот аромат отвердевает в точных определениях, называется теорией групп . Название этой теории возникло из того факта, что преобразования симметрии, о которых мы говорили, образуют множества операций, которые в математике называются группами. Вообще говоря, группа состоит из множества элементов и правила их комбинирования, такого, что комбинация любой пары элементов тоже является элементом этого множества. Мы можем увидеть, как преобразования симметрии формируют группу, снова представив себе куб. Предположим, я последовательно провожу два действия, поворачивая куб на 90° вокруг одной из осей, перпендикулярных грани, а затем вращая получившийся куб на 120° вокруг диагональной оси. Результат оказывается таким же, каким бы он был, если бы я повернул куб на 120° вокруг одной из других диагональных осей, поэтому эти два последовательно выполненных преобразования эквивалентны одному преобразованию симметрии. Это верно для всех преобразований симметрии куба, поэтому эти преобразования образуют группу. Группам преобразований симметрии для различных фигур даны названия. Например, огромная группа симметрии сферы называется SO(3). Позже мы встретим другие группы с названиями типа SU(2) и SU(3).

Понятие группы выходит далеко за пределы преобразований симметрии, вот почему теория групп является существенной частью математики. Например, возьмем в качестве множества «элементов» положительные и отрицательные числа …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … и пусть правилом комбинирования будет сложение. Тогда, поскольку сумма двух целых чисел сама является целым числом, целые числа образуют группу по сложению. Поэтому арифметика есть часть теории групп, и та же идея, которую мы используем, чтобы обсуждать симметрию реальных объектов, может быть использована для обсуждения идей арифметики, и наоборот. Я не собираюсь вести вас в настоящей главе по этому частному маршруту, но он сыграет свою роль в главе 10. Тем не менее просто вынесите отсюда мысль — мысль, которая пронизывает всю эту книгу, — что простая идея может иметь приложения почти неограниченной общности.

Давайте вернемся к рассмотрению собственно симметрии. Нам необходимо отличать группы преобразований симметрии, которые оставляют одну точку объекта неизмененной, от групп, включающих в себя движение через пространство. Первые называются точечными группами , последние — пространственными группами . Все преобразования симметрии сферы и куба оставляют точку в центре в том же положении, в котором она находилась изначально. Если действие сдвигает центральную точку индивидуального объекта, как в случае отражения сферы в плоскости, не проходящей через ее центр, то мы можем заметить, что нечто было проделано, и это действие нельзя считать преобразованием симметрии. Все преобразования симметрии индивидуальных объектов оставляют неизмененной по крайней мере одну точку, так что симметрии индивидуальных объектов описываются точечными группами.