Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Если под красотой мы имеем в виду симметрию и контролируемые нарушения симметрии, Мондриана, переходящего в Моне, то красота, конечно, лежит в сердце мира. Часть этой красоты открыта для непосредственного восприятия, например, когда мы смотрим на прекрасное произведение искусства. Другая часть, однако, глубоко спрятана и неочевидна для необученного взгляда. Тысячи лет, прошедшие со времени Поликлита, были использованы для того, чтобы выкопать скрытую красоту, дать ее оценку в математической форме, и затем, используя математические средства, провести более глубокие раскопки ландшафта реальности. Как я уже подчеркивал, по мере развития науки, ее глубина и богатство возрастают за счет увеличения абстрактности ее концепций. Это возрастание нигде не прослеживается лучше, чем в открытии симметрии и в развернутом ее использовании в качестве инструмента познания.

Теперь я проведу вас, настолько подробно, насколько мне удастся, по пути, ведущем от непосредственно воспринимаемого к воображаемому, и продемонстрирую ту власть, которую дает в наши руки симметрия. Этот путь поведет нас на самый край обрыва того, что еще доступно воображению.

Объект является симметричным, если действие — которое мы называем преобразованием симметрии , — произведенное над ним, оставляет его неизменным по внешнему виду. Другими словами, если вы на мгновение закроете ваши глаза, то когда вы откроете их снова, вы не сможете сказать, совершил я какое-либо действие или нет. Представьте себе гладкий мяч без украшений; закройте на мгновение глаза, откройте их: повернул ли я шар? Действия, которые мы рассматриваем, могут быть вращением вокруг оси или отражением в зеркале, но существуют и другие преобразования симметрии, которые нам еще предстоит оценить, некоторые из которых представляют собой составные комбинации более простых действий, например, движение в пространстве (называемое трансляцией ), за которым следует отражение в зеркале. Вы можете найти отражение даже в музыке. Одним особенно прозрачным примером является поддельное двухчастное сочинение «Моцарта», которое начинается так

и завершается второй частью

являющейся отражением первой части.

Некоторые объекты являются более симметричными, чем другие. Сфера в высокой степени симметрична — это один из самых симметричных объектов, с которыми мы обычно сталкиваемся. Подумайте о числе способов, которыми я могу изменить положение сферы, пока ваши глаза закрыты, так, что вы не сможете обнаружить это, открыв глаза. Я могу повернуть ее вокруг любой из бесконечного числа осей, проходящих через ее центр, на любой угол, лежащий между 0 и 360°. И это еще не все. Я могу представить себе зеркало, проходящее через центр сферы в любом из бесконечного числа направлений, и вы не сможете обнаружить отражение одной полусферы в другую. Есть и другие действия, которые я могу произвести в уме: я могу вообразить, что я беру каждый атом шара на прямой линии, проходящей через центр сферы, и перемещаю этот атом на равное расстояние от центра сферы с другой стороны. Таким путем я перестраиваю шар с помощью операции, известной как инверсия . Вы не сможете утверждать, что я проделал это, поскольку шар после такой инверсии выглядит точно таким же, каким был вначале.

Куб гораздо менее симметричен, чем сфера. Существует несколько действий, которые я могу над ним произвести так, чтобы вы об этом не узнали. Я могу повернуть куб на 90° и 180° по часовой стрелке и против нее вокруг оси, проходящей через центры любой из трех пар противоположных граней. Я могу повернуть его на 120° по часовой стрелке и против нее вокруг любой из четырех осей, проходящих через противоположные углы. Я могу отразить его от любой из трех плоскостей, в которой я могу поместить зеркало, разрезающее куб пополам. Я могу перестроить куб с помощью инверсии относительно его центра. Я бы мог даже оставить куб нетронутым: вы бы не узнали. Поэтому ничегонеделание — называемое тождественным преобразованием — тоже является преобразованием, которое я должен включить в рассмотрение симметрии объекта. Это дает много различных действий, которые я могу проделать так, чтобы вы не узнали; поэтому куб является высоко симметричным, но совсем не таким симметричным, как сфера, с ее бесконечным числом незразличимых преобразований.