Нассим Талеб - Рискуя собственной шкурой. Скрытая асимметрия повседневной жизни

В присутствии конечной, то есть необратимой катастрофы всякое последующее наблюдение зависит от некоего свойства предыдущего: то, что происходит в момент t , зависит от t – 1 , то, что происходит в момент t – 1 , зависит от t – 2 и так далее. Мы установили зависимость от пути.

Теперь сформулируем исчезновение эргодичности:

Теорема 1 (неравенство континуума состояний). Пусть и – ожидание по пространству состояний для статического начального периода t , а – ожидание по времени для всякого агента i , обе формулы получены через слабый закон больших чисел. Тогда:

Доказательство:

,

где – индикаторная функция, требующая выживания в предыдущий период. Границы n для t показывают уменьшение ожидания по времени: .

На деле мы можем доказать и расхождение.

Как можно видеть, если T < ∞ , по закону повторных ожиданий мы получаем неравенство для всех Т .

Мы видим наличие ансамбля рискующих индивидов, ожидающих отдачи m , в любой период t , в то время как каждый отдельный рискующий индивид в конце концов гарантированно разорится.

Другие подходы. Мы можем подойти к доказательству с точки зрения более формальной теории меры и показать, что пространственные множества для «некатастрофы» не пересекаются, а временные – наоборот. Доказательство основано на том, что для меры :

не обязательно равно .

Почти ни в одной статье на тему актуарной «переоценки» хвостового риска через опции (см. обзор в Barberis 2003) нет неравенства теоремы 1. Очевидно, статьи основываются на том, что агент принимает только одно решение и проходит через один момент риска. Проще говоря, научные статьи, постулирующие «предвзятость», исходят из того, что агенты более не примут ни одного решения за всю оставшуюся жизнь.

Обычно зависимость от пути – если наблюдается зависимость от катастрофы – устраняется введением функции Х , позволяющей среднему по ансамблю (не зависящему от пути) совпадать по свойствам со средним по времени (оно зависит от пути) – или средним, сопряженным с выживанием. Отличным кандидатом на такую функцию видится натуральный логарифм. Следовательно, log ( X i ) и log ( X t ) входят в один и тот же вероятностный класс; значит, вероятностная мера одного инвариантна и для другого – это и называется эргодичностью. В этом смысле, анализируя риск и результаты в условиях катастрофы, необходимо использовать логарифмическое преобразование (Peters 2011) или ограниченность левого хвоста (Kelly 1956), максимизируя возможности правого хвоста (Gell-Mann 2016) или ограниченность левого хвоста (Geman et al. 2015).