Валентин Асмус - ЛОГИКА

Научная ценность выводов полной индукции зависит от того, будут ли частные посылки, обосновывающие вывод, суждениями об отдельных предметах класса или о видах рода. Если частные посылки представляют суждения об отдельных предметах класса, то общий вывод, согласно сущности полной индукции, возможен лишь при условии, когда перечислены и рассмотрены все экземпляры, из которых состоит класс. В таких выводах число экземпляров класса, очевидно, должно быть ограниченным, так как обзор экземпляров должен быть исчерпывающим. Поэтому выводы в этом случае представляют меньшую ценность для знания.

Но если частные посылки, обосновывающие вывод, представляют суждения о видах , то ограниченность числа видов, из которых состоит род, не препятствует тому, чтобы общая сумма экземпляров, составляющих род, была неисчислимо большой. Хотя имеется всего четыре вида конических сечений, но так как каждый из них обнимает бесчисленное множество экземпляров, то и вся группа конических сечений, на которую в выводе переходит предикат частных посылок, будет группой, состоящей из бесчисленного множества экземпляров. Такие выводы, в которых известное общее свойство группы может быть отнесено к каждому из неисчислимо большого количества членов этой группы, представляют бо́льшую ценность для знания, чем выводы о группе, состоящей из ограниченного числа экземпляров.

Умозаключение от принадлежности предиката каждому из видов рода в отдельности к принадлежности этого же предиката целому роду часто применяется в доказательствах математических наук. При помощи полной индукции геометрия доказывает теорему, согласно которой всякий угол, вписанный в круг, измеряется половиной центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Геометрия доказывает, что положение это справедливо, во-первых, для случая, когда центр круга лежит между сторонами вписанного в круг угла, во-вторых, для случая, когда центр круга лежит на одной из сторон вписанного в круг угла, и, в-третьих, когда центр круга лежит вне обеих сторон вписанного в круг угла (см. рис. 65).

Рис. 65

Так как этими тремя случаями исчерпываются все возможные виды понятия вписанного в круг угла и так как доказанное положение оказывается справедливым относительно каждого из видов рода в отдельности, то отсюда геометрия заключает по методу полной индукции, что положение это будет справедливо и относительно всего рода, т. е. относительно всякого вписанного в круг угла.

§ 14.В предварительном разъяснении понятия об индукции были указаны черты, отличающие индуктивные умозаключения от силлогизмов. Там же было сказано, что наряду с чертами, отличающими индуктивные выводы от силлогизмов, имеются и общие черты между ними.

Сказанное справедливо и относительно полной индукции. Умозаключении полной индукции, отличаясь от силлогизмов, как все индуктивные выводы, способностью давать общие выводы из частных посылок, в то же время сходны с силлогизмами в трёх отношениях.

Во-первых , умозаключения полной индукции, так же как и силлогизмы, дают в отличие от других видов индукции не только вероятные, но вполне достоверные выводы. Правда, условием достоверности этих выводов является исчерпывающий обзор всех экземпляров, составляющих класс, или всех видов, составляющих род, на который в заключении переносится предикат частных посылок. Но ведь и в силлогизмах условием достоверности вывода всегда является достоверность посылок, обосновывающих вывод. Только возможность в отдельных случаях ошибочно признать недостоверную посылку за достоверную приводит к ошибочному выводу, но от этого нисколько не колеблется общее свойство силлогизмов — давать при условии достоверности посылок вполне достоверные выводы.

Точно так же ошибочное признание неполного обзора экземпляров класса или видов рода за полный их обзор приводит к ошибочному обобщению, но нисколько не противоречит тому, что при условии действительно исчерпывающего перечня всех экземпляров класса или всех видов рода заключение полной индукции, приписывающее предикат всему классу или роду, будет вполне достоверным.

§ 15. Вторая черта, сближающая полную индукцию с силлогистическими умозаключениями, состоит в том, что посылки и выводы полной индукции, в отличие от посылок и выводов других видов индукции, обычно являются суждениями о принадлежности . Так, в примере с общим выводом о конических сечениях и каждая посылка и вывод утверждают принадлежность известного свойства — способности пересекаться прямой не более чем в двух точках — не только каждому отдельному виду конических сечений, но и всему их роду. Напротив, в других видах индукции, о которых речь впереди, в заключении индуктивного вывода обычно устанавливается причинное отношение.