Карл Поппер: Что такое диалектика?

Применяя наши два правила, мы действительно можем показать это. Допустим, имеются две противоречащие друг другу посылки, скажем:

(а) Солнце сейчас сияет.

(b) Солнце сейчас не сияет.

Из этих двух посылок можно вывести любое высказывание, например, “Цезарь был предателем”.

Из посылки (а) мы можем вывести, согласно правилу (1), следующее заключение:

(c) Солнце сейчас сияет V Цезарь был предателем. Взяв теперь в качестве посылок (b) и (с), мы можем в конечном счете вывести, согласно правилу (2):

(d) Цезарь был предателем.

Ясно, что с помощью того же метода мы могли бы вывести и любое другое высказывание, например, “Цезарь не был предателем”. Так что из “2 + 2 = 5” и “2 + 2 не= 5” мы можем вывести не только то высказывание, какое бы нам хотелось, но также и его отрицание, которое могло и не входить в наши планы.

Отсюда мы видим, что если теория содержит противоречие, то из нее вытекает все на свете, а значит, не вытекает ничего. Теория, которая добавляет ко всякой утверждаемой в ней информации также и отрицание этой информации, не может дать нам вообще никакой информации. Поэтому теория, которая заключает в себе противоречие, совершенно бесполезна в качестве теории .

Ввиду важности проанализированной нами логической ситуации, я представлю теперь несколько других правил вывода, которые приводят к тому же результату. В отличие от (1), те правила, которые мы сейчас рассмотрим, составляют часть классической теории силлогизма, за исключением правила (3), которое мы обсудим первым.

Из любых двух посылок p и q можно вывести заключение, которое тождественно одной из них — скажем, p схематически:

Несмотря на всю непривычность этого правила и на то, что его не признают некоторые философу [7] Я имею в виду в особенности Дж. Э. Мура. , это правило несомненно общезначимо: ведь оно безошибочно приводит к истинному заключению всегда, когда истинны его посылки. Это очевидно и действительно тривиально; и сама тривиальность делает это правило, в обычном рассуждении, избыточным, а потому и непривычным. Однако избыточность не есть несостоятельность.

В дополнение к правилу (3), нам понадобится еще одно правило, которое я назвал “правилом косвенной редукции” (поскольку в классической теории силлогизма оно имплицитно используется для косвенного сведения “несовершенных” фигур к первой, или “совершенной”, фигуре). Предположим, имеется общезначимый силлогизм:

(а) Все люди смертны.

(b) Все афиняне люди.

(с) Все афиняне смертны.

Тогда правило косвенной редукции гласит:

Например, в силу общезначимости вывода ( с ) из посылок ( а ) и ( b ) силлогизм

( а ) Все люди смертны ( не-с )

Некоторые афиняне не смертны ( не-b )

Некоторые афиняне — не люди также должен быть общезначимым.

Правило, которое мы будем использовать как незначительное видоизменение только что сформулированного правила, следующее:

Правило (5) может быть получено, например, из правила (4) вместе с законом двойного отрицания, согласно которому из не-не-b можно вывести b . Однако если (5) значимо для любого высказывания а , b , с (и значимо только при этом условии), тогда оно должно быть значимо и в том случае, если с окажется тождественно а , иными словами, должно быть значимо следующее:

Но (7) устанавливает в точности то, что мы хотели показать, а именно: из двух противоречащих посылок можно вывести любое заключение.

Может возникнуть вопрос, распространяется ли это положение на любую систему логики или же можно построить такую систему, в которой из противоречащих друг другу высказываний не следовало бы какое угодно высказывание. Я специально занимался этим вопросом и пришел к выводу, что такая система возможна. Она оказывается, однако, чрезвычайно слабой. В ней сохраняются лишь очень немногие из обычных правил вывода, не действует даже modus ponens , устанавливающий, что из высказываний формы “Если p , то q ” и p мы можем вывести q . По моему мнению, подобная система [8] Я имею в виду систему дуальную интуиционистской — см. мою статью «О теории дедукции I и II». (“Proc. of the Royal Dutch Academy”, 51. 1948. № 2, 3. 3.82 — р. 182, 4.2 — р. 322, 5.32, 5.42, а также прим. 15). Д-р Джозеф Кальман Коген разработал эту систему довольно детально. Я нашел простую интерпретацию этого исчисления. Все утверждения могут рассматриваться как модальные утверждения о возможности. Из “ р возможно” и “если р , то q возможно” мы не можем вывести “ q возможно” (ибо если р ложно, то утверждение q может быть невозможным). Аналогично, из “ р возможно” и “ не-р возможно” мы очевидно не можем вывести возможность всех утверждений. совершенно непригодна для вывода заключений, хотя и представляет, возможно, некоторый интерес для тех, кто специализируется на построении формальных систем.