Карл Поппер - Что такое диалектика?

Логический вывод осуществляется в соответствии с определенными правилами вывода . Вывод общезначим, если общезначимо правило вывода, на которое он опирается; а правило вывода общезначимо, если и только если оно никогда не приводит от истинных посылок к ложному заключению ; или, другими словами, если оно безошибочно переносит истинность посылок (при условии, что они истинны) на заключение.

Нам понадобятся два таких правила вывода. Чтобы разъяснить первое и наиболее трудное, введем понятие составного высказывания ( compound statement ). Таковы, например, следующие высказывания: “Сократ мудр и Петр — царь”, или “ Либо Сократ мудр, либо Петр — царь (но не то и другое вместе)”, или еще: “Сократ мудр и/или Петр — царь”. Два высказывания (“Сократ мудр” и “Петр — царь”), из которых состоит составное высказывание, называются составляющими высказываниями.

Нас интересует здесь одно составное высказывание, а именно — построенное таким образом, что оно истинно, если и только если истинно по крайней мере одно из двух его составляющих . Неуклюжее выражение “ и/или ” создает как раз такое составное высказывание: “Сократ мудр и/или Петр — царь” будет истинным, только если одно или оба составляющие его высказывания истинны; и оно будет ложным, если и только если оба его составляющие ложны.

В логике принято заменять выражение и/или символом “V” и использовать для обозначения любого выражения буквы p и q . Мы можем сказать, что высказывание формы “p V q ” истинно, если истинно, по крайней мере, одно из двух составляющих p и q .

Теперь мы можем сформулировать первое правило вывода. Выразим его так:

(1) Из посылки p (например, “Сократ мудр”) с полным правом можно вывести любое заключение формы “p V q ” (например: “Сократ мудр V Петр — царь”).

Мы сразу же поймем необходимую общезначимость этого правила, если вспомним о значении “V”. Этот символ создает составное высказывание, которое истинно всегда, когда истинно, по крайней мере, одно из его составляющих. Соответственно, если p истинно, то p V q тоже обязательно истинно. Таким образом, наше правило никогда не может приводить от истинной посылки к ложному заключению, а это и означает, что оно общезначимо.

При всей своей общезначимости первое правило вывода часто поражает непривычных к таким вещам людей — оно кажется им странным. И действительно, это правило редко применяется в повседневной жизни, поскольку его вывод содержит гораздо более скудную информацию, чем посылка. Однако иногда оно все же применяется, например при заключении пари. Скажем, я могу дважды подбросить монету, побившись об заклад, что орел выпадет по крайней мере один раз . Это очевидным образом равносильно поручительству за истинность составного высказывания “орел выпадет при первом подбрасывании монеты V орел выпадет при второй попытке”. Вероятность (в обычном смысле слова) такого высказывания равна 3/4; таким образом, оно отлично от высказывания “орел выпадет при первой попытке или орел выпадет при второй попытке (но не дважды)”, вероятность которого равна 1/2 Всякий признает, что я выиграл пари, если орел выпал при первом подбрасывании монеты, — иными словами, что составное высказывание, за истинность которого я поручился, должно быть истинно, если истинно первое его составляющее; это показывает, что мы рассуждали в соответствии с первым правилом вывода.

Мы можем также записать первое правило следующим образом:

что читается так: “из посылки p получаем следствие p V q ”. Второе правило вывода, которым я собираюсь воспользоваться, более привычно. Если отрицание p мы обозначим как не-p , то правило можно сформулировать следующим образом:

,

или в словесной форме:

(2) Из двух посылок не-p и p V q мы получаем заключение q .

Общезначимость этого правила можно считать установленной, если принять, что высказывание не-p истинно только в том случае, когда p ложно. Соответственно, если первая посылка не-p истинна, тогда первое составляющее второй посылки ложно; следовательно, если обе посылки истинны, то второе составляющее второй посылки должно быть истинно; это означает, что q должно быть истинно всякий раз, когда обе посылки истинны.

Условливаясь, что если не-p истинно, то p должно быть ложно, мы имплицитно употребляем “закон противоречия”, утверждая, что не-p и p не могут быть истинны одновременно. Поэтому если бы моей задачей в настоящий момент было привести доводы в защиту противоречия, мы должны были бы насторожиться. Однако в данный момент я пытаюсь только показать, что, применяя общезначимые правила вывода, мы можем вывести из пары двух противоречащих посылок любое заключение .