Валерий Савченко - Начала современного естествознания - концепции и принципы

Как же обосновать истинность математических утверждений? Выход может быть один. Вместо попыток формального доказательства непротиворечивости математических теорий (как основы истинности этих теорий) должны быть найдены косвенные доводы, подтверждающие нашу веру в непротиворечивость и истинность теорий.

К этим доводам относятся:

1. Интуитивная ясность, убедительность, простота и изящество математических построений.

2. Возможность эффективного использования теории в практических приложениях (как в естественных науках, так и в самой математике).

Проблема природы математической истины и проблема непротиворечивости свелись, таким образом, к проблеме обоснования объективности математического знания. Дело свелось к практике, так как критерием объективности— критерием истинности математических утверждений в этом, более общем смысле, является общественная практика. Но практика является также и критерием полезности научного знания.

В самом деле, так как в математических теориях используются весьма абстрактные понятия, не имеющие никаких конкретных прообразов в реальном мире, то роль практики как критерия истины, как соответствия действительности, весьма незначительна. В этом случае практика принимается, прежде всего, как критерий полезности этих теорий — она становится критерием их эффективности, действенности, результативности.

К пониманию того, что этот критерий фактически устанавливает не столько истинность математических теорий, сколько их полезность, как орудий познания, пришли многие математики. Хаскелл Карри, например, в 1963 году писал: «До какой степени абсолютная надежность присуща математике? Поиск абсолютной надежности был основной мотивировкой для концепции Брауэра (основатель в математике интуиционизма. — Авт.) и Гильберта. Но нужна ли математике для своего оправдания абсолютная надежность? Зачем, скажем, нам так уж нужно быть уверенным в непротиворечивости теорий? Ведь ни к какой другой науке мы не предъявляем таких требований. В физике, например, теории всегда гипотетичны; мы принимаем теорию, коль скоро на ее основе можно сделать полезные предсказания, и видоизменяем или опровергаем ее, коль скоро этого сделать нельзя. Именно так происходит и с математическими теориями. Мы принимаем теорию, коль скоро она нам полезна, удовлетворяет некоторым условиям естественности и простоты, разумным для своего времени, и коль скоро известно, что эта теория не введет нас в заблуждение. Мы должны держать наши теории под постоянным наблюдением, чтобы видеть, что эти условия выполнены. Поскольку же оценка полезности теории зависит от ее назначения, можно для различных целей принимать по-разному построенные теории, так что интуиционистская и классическая математики могут существовать».

Об этом же в 1970 году писал русский математик, академик Александр Александров (1912–1999), который указывал, что «…математика сама по себе не может быть ни истинной, ни ложной. Математические теории — это орудия познания, и спрашивать об их истинности бессмысленно, как об истинности трактора».

Эффективность, а не истинность — вот что нужно человеку от математических теорий. Что же касается веры в особую достоверность математического знания, веры в истинность математических теорий, то это всего лишь иллюзия, порожденная, с одной стороны, эффективностью математического знания в приложениях, а с другой — интуитивным ощущением, что эти теории правильные.

Какую бы математическую теорию мы ни рассматривали, необходимое условие ее истинности, полезности, как орудия познания, заключается в том, чтобы эта теория была непротиворечива. Доказать непротиворечивость нельзя, но получить косвенные доводы, подкрепляющие нашу веру в непротиворечивость теории, — это дело вполне реальное, и достигается оно посредством практики, понимаемой в самом широком смысле этого слова. Причина непротиворечивости арифметики лежит вне математики, в самой математике эта непротиворечивость остается тайной.

Обобщая, можно отметить, что взгляды на математику характеризуются следующими установками, идеями, принципами:

1. Развитие математики невозможно без исследования математикой самой себя.

2. Одним из важных аспектов математических исследований является вопрос о границах вычислительных и конструктивных возможностей логико-математических языков.

3. Математика по своей природе является псевдоэмпирической наукой. Математическая реальность не существует априорно, а создается интуицией.