Леонид Бердников - Дневник (1964-1987)

2.6.0. Из сказанного с необходимостью следует, что отождествлять Мир и материю нельзя: Мир — всеобъемлющее единство всех принадлежащих ему элементов (функций, состояний) и всех четырех типов отношений, существующих в системе Мира; материя — это только один тип отношений — межэлементные, а внутри межэлементных отношений только такие, для которых инвариантны пространственно-временные композиции. К этому можно добавить следующее: если пространственно-временная упорядоченность межэлементных отношений является обязательным условием существования материи, то материя начинается там и тогда, где и когда появляются такие композиции. Все, что лежит за их пределами, или точнее, все, что предшествует по своей структуре и ее сложности пространственно-временным композициям, — все это существует, но еще не стало материей. Оно может стать материей, но для этого межэлементные отношения должны достичь определенной, высокой степени сложности, породить пространства (см. определение, например, векторного пространства).

2.7.0. Если все принадлежит Миру, то его обогащение может происходить только за счет конструирования новых элементов из уже имеющихся; математическую модель такого обогащения дает нам множество всех подмножеств. Обязательным элементом множества всех подмножеств, является пустое множество — ничто, которое оказывается, таким образом, конструктивным нечто в системе следующего, высшего иерархического уровня. В небытие уходит элемент только данного уровня, на другом уровне этот процесс может быть порождением. Но Мир в целом, как множество всех его подмножеств, есть система, элементами которой является бытие и небытие. Поэтому неправомерно ставить вопрос о существовании самой сущности Мира, всеобщего единства его элементов: — небытие лишь один из его элементов, в пределах одного или другого иерархического уровня. Мир же в целом есть единство бытия и небытия.

Н. Бурбаки так определяют множество всех подмножеств: «Множеством всех подмножеств множества ɛ называют множество (ɛ), элементами которого служат все подмножества множества ɛ. Имеем ϕ ×(ɛ), ɛ×(ɛ), и, каково бы ни было x×ɛ, {x}×(ɛ)» [3, 267]. Проиллюстрируем это определение примером. Пусть произвольное множество ɛ будет содержать только два элемента

ɛ = (a, b)

тогда множеством всех его подмножеств окажется (ɛ), которое будет состоять из 2n элементов, где n — число элементов множества ɛ, в данном случае n=2. Тогда (ɛ) будет:

(ɛ) = {ϕ},{a},{b},{a b}.

Если же мы пожелаем продолжить процесс обогащения первоначального множества и будем исходить теперь уже из множества всех его подмножеств, т. е. из (ɛ), то получим следующую, уже значительно более сложную конструкцию из 24 элементов, а именно:

(ɛ) = {ϕ}, {ϕ}, {a}, {b}, {a b}, {ϕ a}, {ϕ b},{ϕ a b}, {a b}, {a {a b}}, {b {a b}},

{ϕ, a, b}, {a, b, {a b}}, {ϕ, a, b, {a b}}, {b, {a b}, ϕ}, {{a b}, ϕ, b}

Усложнение может быть продолжено до бесконечности. Так в множестве всех подмножеств только что приведенного множества будет уже 216 элементов, а в следующем 265 536 элементов и т. д. Среди всех этих элементов обращают на себя внимание те, которые являются сами по себе пустыми множествами ϕ и которых, с усложнением системы, становится все больше. В пределе это бесконечное множество имеет ту же мощность, какую имеет и бесконечное множество всех элементов самообогощающейся системы Мира.

Мир — это единство бытия и небытия. Но есть еще одно обстоятельство, которое должно задержать нас на этой теме: таким обстоятельством является так называемая «дурная бесконечность», форму которой приобретает обогащение системы за счет конструирования ее новых элементов из уже имеющихся. Мы можем без конца усложнять такую систему путем перехода от множества к множеству всех его подмножеств, но каждый раз перед нами оказывается нечто конечное. Бесконечно только все новое и новое усложнение и рост числа элементов. Спрашивается: так неужели Мир обречен пребывать в тенетах «дурной бесконечности» и ему никогда не суждено из них вырваться? Обречен на это не Мир, как целостность, а только один его аспект — аспект межэлементных отношений, который и есть не что иное, как бесконечное множество конечных отношений. Подлинная же бесконечность Мира в несоизмеримости его межэлементных отношений с отношениями этих элементов в целом. Но «дурная бесконечность» как последовательное повторение конечного, становящегося все более и более сложным, само по себе есть упорядоченное множество, где исходное множество ɛ предшествует множеству всех его подмножеств ℜ(ɛ), а ℜ(ɛ) принятое за новое исходное множество, предшествует ℜ(ɛ1) и так далее до бесконечности: