Леонид Бердников - Дневник (1964-1987)

Итак, граница снижает степень неопределенности пограничных элементов, а, следовательно, повышает количество информации о них. Например, границей трехмерного тела будет двумерная поверхность; границей поверхности будет линия, границей линии — точка. Вероятно, точка может рассматриваться как граница пространства и времени. Если точку обозначить как a0 (при a? 0)), одномерное пространство как a1, двумерное как a2, и трехмерное как a3, тогда степень их неопределенности H, выраженная в битах, будет: для точки H1 = — log2 a0; для одномерного пространства H2 = — log2 a1; для двумерного — H3 = — log2 a2. Эта закономерность может быть обобщена и на границу n-мерного пространства, степень неопределенности которого будет: Hn+1 = — log2 an. Все это подтверждает сказанное о том, что граница снижает степень неопределенности элемента или, что то же самое, — увеличивает количество информации о нем.

Что же касается мысли о том, что свойства элементов, которые актуализируются на их общих границах, не принадлежат единолично ни одному из них взятому отдельно, вне системы, то она, эта мысль в поэтической форме была высказана в древней Индии. Я имею в виду жемчужную сеть Индры, которая «…отражается в каждой жемчужине, а жемчужина, в свою очередь, вместе со всей отраженной сетью отражается в другой жемчужине». [12, с. 126].

2.4.0. Но граница, как предел, — не состояние, а процесс — внутренне движение элементов к взаимопроникновению, к единству. На этом пути возникает бесконечное множество различных композиций, обладающих разной степенью устойчивости или инвариантного повторения. Инварианты, которые пронизывают собой межэлементные отношения и цементируют их структуры, опираются на внутренние законы системы, которые обладают иерархическим строением. К числу наиболее фундаментальных инвариантов принадлежат различные виды симметрии и пространственно-временная упорядоченность элементов. Причем, место, занимаемое той или иной композицией межэлементных отношений на иерархической лестнице инвариантов, а, следовательно, и ее значение, определяется степенью их универсальности. Из двух названных выше инвариантов — симметрии и пространственно-временной упорядоченности, — большей универсальностью обладает симметрия, ибо межэлементные отношения, которые упорядочены в пространственно-временные композиции, обязательно содержат в себе симметричные элементы, а симметричные элементы могут и не быть упорядочены в пространственно-временные конструкции.

Математическая модель, освобождающая изучаемый нами объект или процесс от второстепенных, для данного случая, характеристик, значительно упрощает решение многих задач, которые ставит перед нами наша деятельность. Воспользуемся этим, чтобы установить здесь первородство некоторых фундаментальных признаков.

Прежде всего, вспомним о существовании следующих математических операций:

Таблица 2.4.1.

Знаком обозначен один внутренний закон множества, например, сложение; знаком обозначен другой внутренний закон множества, например, умножение.

Далее, прослеживая использование этих операций в формировании алгебраических структур, расположим эти структуры в том порядке, который поможет нам установить степень их инвариантности, а стало быть, и универсальности.

Таблица 2.4.2.

Оказывается, что наибольшей инвариантностью обладает закон ассоциативности ( a ), который пронизывает все названные структуры, а также те композиции, которые здесь не названы, но могут быть получены из упомянутых путем их дальнейшего усложнения. К таким усложненным композициям относятся, например, пространства.

Чтобы не быть голословным и показать их сложную структуру, приведу определение одного из них, а именно векторного пространства:

«Пусть даны: 1) тело K, элементы a, b… которого будут называться коэффициентами или скалярами; 2) модуль (т. е. аддитивная абелева группа) M, элементы x, y… которого будут называться векторами; 3) умножение x a векторов на скаляры, удовлетворяет следующим требованиям:

B1. x a лежит в M

B2. (x + y) a = x a + y a

B3. x (a + b) = x a + x b

B4. x (a b) = (x a) b

B5. x 1 = x

Если все это выполнено, то M называется векторным пространством над K…» [4, c. 82].