Денис Соломатин - Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

в. Модели и представляют стабильные значения, когда – любое число в диапазоне _______ и когда – любое число в диапазоне _______.

1.1.8. Объясните, почему модель не может иметь смысла для описания численности популяции, когда .

1.1.9. Предположим, что популяция описывается моделью и . Найдите для .

1.1.10. Говорят, что модель имеет устойчивое состояние или точку равновесия при если всякий раз, когда , имеем .

а. Перефразируйте определение следующим образом: модель имеет устойчивое состояние при если всякий раз, когда , имеем .

б. Перефразируйте определение неформально: модель имеет устойчивое состояние , если ___.

в. Может ли модель, описываемая равенством иметь устойчивое состояние? Объясните почему.

1.1.11. Объясните, почему модель приводит к формуле .

1.1.12. Предположим, что на численность определенного населения влияют только рождение, смерть, иммиграция и эмиграция, каждая из которых происходит ежегодно в размере, прямо пропорциональном численности населения. То есть, если население составляет , то в течение периода времени в 1 год число рождений составляет , число смертей , число иммигрантов равно , а число эмигрантов равно , для некоторых , , и . Покажите, что популяция все еще может быть смоделирована равенством и выведите формулу для вычисления .

1.1.13. Как хорошо известно лимнологам и океанографам, количество солнечного света, проникающего на различные глубины воды, может сильно повлиять на численность живущих там организмов. Предположим, что вода имеет равномерную мутность, а количество обитателей на каждом метре в глубину пропорционально количеству поступающего света.

а. Объясните, почему это приводит к модели вида , где обозначает количество света, проникшего на глубину метров.

б. В каком диапазоне должны находиться параметры этой модели, чтобы иметь физический смысл?

в. При и постройте график для .