Денис Соломатин - Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Ясно, что зависит от , поэтому можно встретить подстрочный индекс рядом с , так как для разных значений приращение оказывается разным. Тем не менее, этот индекс не редко пропускают.

Теперь то, что нас в конечном итоге волнует, это понимание динамики популяции , а не только приращения . Но . Объединив константы вместе, обозначив за , модель стала гораздо проще: .

Популяризаторы науки часто называют константу конечной скоростью роста населения. (Слово «конечный» используется, чтобы отличить это число от любого вида мгновенной скорости, которая включала бы производную, как вы знаете из курса дифференциального исчисления. Для значений , , и использованных ранее, вся модель теперь имеет вид , где . Первое уравнение, выражающее через , называется разностным уравнением, а второе, задающее , является его начальным условием. С этими двумя уравнениями легко составить таблицу значений численности с течением времени, как в таблице 1.1.

Таблица 1.1. Рост популяции по простой модели

Момент времени Численность

0 500

1 (1. 07)500 = 535

2 (1. 07) 2500 = 572.45

3 (1. 07) 3500 ≈ 612.52

… …

По закономерностям в таблице 1.1 легко перейти от рекуррентного соотношения для к замкнутой форме записи, чтобы осталась только зависимость от в явном виде: . На этой модели теперь легко предсказать численность популяции в любое время.

Может показаться странным называть разностным уравнением, когда разность там не появляется. Однако уравнения и эквивалентны, поэтому любое из них разумно определять одним и тем же термином.

Пример. Предположим, что система математического образования имеет очень жесткие ограничения на целевые цифры приёма в ВУЗы (что вполне реалистично на просторах СНГ), по которым каждый год выпускается 200 молодых специалистов и все сотрудники пенсионного возраста уходят на заслуженный отдых. После того, как состоялся очередной выпуск, только 3% остаются работать по специальности, чтобы связать свою профессиональную деятельность с математикой, остальные либо эмигрируют, либо находят выше оплачиваемую работу. Чтобы написать разностное уравнение в этой системе, где будем измерять в поколениях, нужно просто заметить, что уровень «смертности» равен , в то время как эффективная «плодовитость» системы равна . Следовательно, .