Денис Соломатин - Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Если без проведения сокращений численность сотрудников не имеет устойчивого равновесия, то может ли принудительное сокращение привести к стабильности? Имеет ли это экономический смысл?

Используйте программу longterm.m для создания диаграмм, показывающих изменения моделируемой численности в долгосрочной перспективе по мере изменения параметров модели.

% longterm.m

fun = @(x,r) x + r*x*(1-x);

x0 = .99; a0 = 0; a1 = 3; N = 777; preL = 200; L = 100;

mat = bifur(fun,x0,a0,a1,N,preL,L);

function mat = bifur(fun,x0,a0,a1,N,preL,L,p_siz)

% –

% Функция bifur: строит однопараметрическую диаграмму бифуркаций

% Вход: fun = некоторая функция @(x,para)

% x0 = стартовое значение для x

% a0 = начальное значение параметра a

% a1 = конечное значение параметра a

% N = количество интервалов для параметра 'a' на отрезке [a0;a1]

% preL = количество предварительно пропускаемых итераций для

% преодоления переходного процесса перед стабилизацией

% L = количество итераций для каждой начальной пары

% от (x0,параметр a)

% p_siz = размер маркера, по умолчанию 1

% Выход: mat = бифукационная матрица размера N на L

% которая хранит последовательность длины L

% для каждой пары (x0, параметр a)

% –

% установки по умолчанию

if ~exist('p_siz','var')

p_siz = 1;

end

% инициализация

mat = zeros(N,L);

a = linspace(a0,a1,N);

% основной цикл

format long

for i = 1:N

ca = a(i); % выбрать одно значение параметра в каждый момент времени

for j = 1:L % сгенерировать последовательность длиной L

if j == 1

pre = x0; % инициализируем стартовое значение

for k = 1:preL % пропускаем значения переходного процесса

nxt = fun(pre,ca);

pre = nxt;

end

end

nxt = fun(pre,ca); % вычисляем следующее значение последовательности

mat(i,j) = nxt; % сохраняем в результирующей матрице mat

pre = nxt; % последнее значение будет начальным для следующей итерации

end

end

% построение графика

dcolor = [0,0,1]; % настройка цвета маркера: синий

[r,c] = meshgrid(1:L,a); % наполяем сетку данных координат

surf(r,c,mat,'Marker','*','MarkerSize',p_siz,'FaceColor','None','MarkerEdgeColor', dcolor,'EdgeColor','None')

view([90,0,0]) % фиксируем направление камеры

ylim([a0,a1]) % размещаем данные на диаграмме

end

2. Для популяции со временем регенерации значительно меньшей единицы времени может быть неуместно думать о пропускной способности как о константе. Исследуйте, что произойдет, если пропускная способность изменяется синусоидально. Для начала попробуйте понять следующие команды MATLAB:

t=[0:50]

K=5+sin((2*pi/12)*t)

p=.1; pops=p

for i=1:50

p=p+.2*p*(1-p/K(i));

pops=[pops p];

end

plot(t,K,t,pops)

Рекомендации

Объясните, почему синусоидально изменяющаяся пропускная способность может иметь физический или социально-экономический смысл при некоторых обстоятельствах.

Исследуйте поведение модели для различных вариантов и . Колеблется ли вместе с ? Обратите особое внимание на то, когда популяция достигает пика и каково среднее значение в долгосрочной перспективе. Соответствуют ли результаты машинных экспериментов вашей интуиции?

Что происходит, если изменяется частота колебаний пропускной способности? Попробуйте заменить в предыдущем примере на при разных N.

По мере увеличения эта модель демонстрирует бифуркации? Хаос?

3. Изучите, что произойдет, если пропускная способность изменяется случайным образом в логистической модели, и, в частности, влияние такой пропускная способность на небольшие популяции. Нужно будет знать, что команда rand(1) в MATLAB выдает случайное число в диапазоне от 0 до 1 с равномерным распределением, и что randn(1) генерирует случайное число из нормального распределения с матожиданием 0 и стандартным отклонением 1. Можете начать с использования программы onepop.m с выражением типа 10 + rand(1) в качестве пропускной способности в логистической модели.

Рекомендации

Возможно, 10*rand(1) или 10+2*randn(1) были бы лучшей формулой для значений в экспериментальной модели. Опишите качественные различия между реальными ситуациями, которые могут описывать эти математические выражения.

Для выбранного выражения изучите поведение модели для различных вариантов и . Как ведет себя ? Каково среднее значение в долгосрочной перспективе? Соответствуют ли результаты вашей математической интуиции?