Денис Соломатин - Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

а.

б.

в.

г.

Рисунок 1.8. Заготовки паутинных диаграмм для задачи 1.3.1.

1.3.2. Исходя из приведенной выше задачи, в каком диапазоне должен находиться наклон графика функции от в точке равновесия, чтобы обеспечить стабильность? Неустойчивость? Подсказка: возможно, захотите подумать об особых случаях, взяв наклон сначала −1, а затем 1.

1.3.3. Средствами математического анализа сформулируйте ответ на предыдущую задачу на языке производных: если является точкой равновесия модели , то она стабильна, когда выполнено следующее условие _________________ .

1.3.4. С точки зрения математики, имея дело с логистической моделью роста , всегда можно выбрать единицы, в которых измеряется так, чтобы .Таким образом, можно рассматривать уравнение , имеющее только один параметр , а не два. Исследуйте долгосрочное поведение этой модели для различных значений , начиная с .5 и постепенно увеличивая его, используя программу onepop.m для MATLAB из задачи 1.2.4. При каких значениях обнаруживается сходимость к равновесию без колебаний? А при каких сходимость к равновесию осуществляется с колебаниями? При каких появляется 2-цикл? А при каких – цикл длины 4?

1.3.5. В предыдущем упражнении обнаружили, что по мере увеличения после значения 2 популяция перестанет стремиться к и вместо этого попадет в цикл длины 2 и более.

а. Покажите, что, несмотря на срыв модели в 2-цикл, единственными точками равновесия по-прежнему являются и 1.

б. Если попадает в 2-цикл, то . Поэтому, возможно, стоит найти формулу для выраженного через . Сделайте это для и . Ответ должен оказаться многочленом четвертой степени.

в. Можно ли использовать полученные результаты из части (б) для поиска аналитических формул точек равновесия в 2-цикле, приравняв ? Попробуйте. Не всё может получиться с первого раза, но, по крайней мере, попробуйте объяснить те сложности, с которыми столкнулись.

1.3.6. Для каждого из следующих пунктов определите точки равновесия.

а.

б.

в.

г.

д.