Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

> irreduc(х^2-2);

> Irreduc(2*x^2+6*x+6) mod 7;

> Irreduc(x^4+x+1) mod 2;

> alias(alpha=RootOf(x^4+x+1)):

> Irreduc(х^4+х+1,alpha) mod 2;

Для разложения полинома р по степеням служат инертные функции AFactor(p) и AFactors(p). Полином может быть представлен в виде зависимости от одной или нескольких переменных.

Функция Afactor(p) выполняет полную факторизацию (разложение) полинома p от нескольких переменных с коэффициентами в виде алгебраических чисел над полем комплексных чисел. При этом справедливо отношение evala(AFactor(p))= factor(p.complex). Таким образом, эта функция является, по существу, избыточной.

В случае одномерного полинома полное разложение на множители является разложением на линейные множители. Функция AFactors аналогична функции Afactor, но создает структуру данных формы [u,[[f[1],e[1]],…,[f[n],e[n]]]] так, что p=u*f[1]^e[1]*…*f[n]^e[n], где каждый f[i] — неприводимый полином.

Ниже даны примеры применения функции Afactor:

> evala(AFactor(2*х^2+4*х-6));

> evala(AFactor(х^2+2*у^2));

> expand((x-1) * (x-2) * (x-3) * (x-4));

> AFactor(%);

> evala(%);

> expand((x-1+I*2)*(x+1-I*2)*(x-3));

> evala(AFactor(%));

> evala(AFactors(х^2-2*у^2));

Нетрудно заметить, что разложение полинома на множители позволяет оценить наличие у него корней. Однако для этого удобнее воспользоваться специальными функциями, рассмотренными ниже.

Для вычисления действительных и комплексных корней полиномов служит уже известная нам функции solve(p, x), возвращающая список корней полинома p одной переменной. Кроме того, имеются следующие функции для вычисления корней полиномов:

roots(р)

roots(р, K)

roots(р, х)

roots(р, x, K)

Эти функции вычисляют точные корни в рациональной или алгебраической области чисел. Корни возвращаются в виде [[r1,m1], [rn, mn]], где mi — это корень полинома, a mi — порядковый номер полинома. С действиями этих функций можно разобраться с помощью приведенных ниже примеров:

> р:=х^4 1-9*х^3+31*х^2+59*х+60;

> solve(р,х);

> roots(р,х);

> roots(х^2-4,х);

> expend((х-1)*(х-2)*(х-3)*(х-4));

> roots(%,х);

С полиномами могут выполняться различные операции. Прежде всего, отметим некоторые функции, которые относятся к одному полиному:

psqrt(p) — возвращает квадрат полинома;

proot(p,n) — возвращает n-ю степень полинома;

realroot(p) — возвращает интервал, в котором находятся действительные корни полинома;

randpoly(vars, eqns) — возвращает случайный полином по переменным vars (список) с максимальной степенью eqns;

discrim(p, var) — вычисление дискриминанта полинома по переменной var;

Primitive(a) mod p — проверка полинома на примитивность (возвращает true, если полином примитивен).

Действие этих функций достаточно очевидно, поэтому ограничимся приведением примеров их использования (файл polop):

> psqrt(х^2+2*х*у+у^2);

> proot(х^3+3*х^2+3*х+1, 3);

> psqrt(x+y);

> proot(x+y, 2);

> р:=х^3-3*х^2+5*х-10;

> discrim(p,x);

> readlib(realroot):

> realroot(p);

> randpoly([x],degree=10);

> randpoly([x],degree=10);

> randpoly([x],degree=10);