Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Многие операции, такие как интегрирование и дифференцирование, чувствительны к особенностям функций, в частности, к их разрывам и особым точкам. Напомним, что разрыв характеризуется двумя значениями y(x) в точке разрыва на оси абсцисс x р. Возможны разрывы с устремлением функции к бесконечности с той или иной стороны от точки х р. Функции могут иметь один разрыв или конечное число разрывов.

Функция singular(expr, vars) позволяет найти особые (сингулярные) точки выражения expr, в которых она испытывает разрывы. Дополнительно в числе параметров может указываться необязательный список переменных. Примеры применения этой функции приведены ниже (файл fanal):

> singular(ln(х)/(x^2-a));

> singular(tan(х));

> singular(1/sin(х));

> singular(Psi(х*y),{х,y});

> singular(x+y+1/x,{х,у});

Важным достоинством системы Maple является наличие в ней ряда функций, позволяющих выполнять детальный анализ функций. К такому анализу относится вычисление асимптотических разложений функций, которые представляются в виде рядов (не обязательно с целыми показателями степени). Для этого используются следующая функция:

asympt(f,x)

asympt(f,х,n)

Здесь f — функция переменной х или алгебраическое выражение; х — имя переменной, по которой производится разложение; n — положительное целое число (порядок разложения, по умолчанию равный 6). Ниже представлены примеры применения этой функции (файл fanal):

> asympt(х/(1-х^2),х);

> asympt(n!,n,3);

> asympt(exp(x^2)*(1-exp(x)), x);

> asympt(sqrt(Pi/2)*BesselJ(0,x), x, 3);

Ниже мы рассмотрим типичный анализ достаточно «сложной» функции, имеющей в интересующем нас интервале изменения аргумента х от -4 до 4 нули, максимумы и минимумы. Определение функции f(x), ее графики и график производной df(x)/dx даны на рис. 5.3. Этот рисунок является началом полного документа, описываемого далее (файл analizf).

Рис. 5.3. Задание функции F(x) и построение графиков функции и ее производной

Функция F(x ), на первый взгляд, имеет не совсем обычное поведение вблизи начала координат (точки с х = у =0). Для выяснения такого поведения разумно построить график функции при малых x и у. Он также представлен на рис. 5.2 (нижний график) и наглядно показывает, что экстремум вблизи точки (0,0) является обычным минимумом, немного смешенным вниз и влево от начала координат.

Теперь перейдем к анализу функции F(x). Для поиска нулей функции (точек пересечения оси х) удобно использовать функцию fsolve, поскольку она позволяет задавать область изменения х, внутри которой находится корень. Как видно из приведенных ниже примеров, анализ корней F(x) не вызвал никаких трудностей, и все корни были уточнены сразу:

> fsolve(F(х),х,-2...-1);

> fsolve(F(x),х,-.01..0.01);

> fsolve(F(х),х,-.05..0);

> fsolve(F(x),х,1..2);

> fsolve(F(x),x,2.5..3);

Нетрудно заметить, что функция имеет два очень близких (но различных) корня при x близких к нулю.

Анализ функции на непрерывность, наличие ее нарушений и сингулярных точек реализуется следующим образом:

> iscont(F(x),x=-4..4);

> discont(F(x),x);

> singular(F(x));

Этот анализ не выявляет у заданной функции каких-либо особенностей. Однако это не является поводом для благодушия — попытка найти экстремумы F(x) с помощью функции extrema и минимумы с помощью функции minimize завершаются полным крахом: