Жак Арсак - Программирование игр и головоломок

(1, 1 : 3), (4, 4 : 5), (6, 6 : 9).

Следовательно, есть в точности n значений S , которые нужно рассматривать. Таким способом вы и получаете алгоритм, линейный по n .

Закончить предоставляю вам.

Головоломка 1.

Первая стратегия. Нужно сравнить u 2 i и u i . Они равны, если 2 i = i + kp для целого k , следовательно, если i делится на p . Кроме того, i должно превосходить r . Следовательно, нужно искать наименьшее кратное p , большее или равное r .

Положим v i = u 2 i . Тогда

v i +1= u 2 i +2= f(f( u 2 i )) = f ( f ( v i )).

Если вы начинаете u с u 1= a , то вы начинаете v с v 1= f ( а ).

Таким образом, получаем начало программы:

u := a ; v := f ( а )

ПОКА u ≠ v ВЫПОЛНЯТЬ

u := f ( u ); v := f ( f ( v ))

ВЕРНУТЬСЯ

Теперь вы получили два равных элемента. Чтобы получить период, нужно пройти интервал между полученными числами — например, начиная с u — считая число элементов:

p := 1; w := f ( u )

ПОКА w ≠ u ВЫПОЛНЯТЬ

w := f ( w ); p := p + 1

ВЕРНУТЬСЯ

Мне пришлось рассказать вам все…

Вторая стратегия. Начните с d = 1 и h = 1. Если вы не находите периодичности в интервале от d + 1 до d + h (сравнивая u на этом интервале со значением u на элементе d , сохраняемым в некоторой переменной, например, x ), возьмите значение u в d + h в качестве нового значения x , d + h в качестве нового d , и удвойте k .

Вы непосредственно получаете период. Тщательно подсчитайте количество вычислений f в каждом из этих двух алгоритмов. Второй способ определенно лучше,

Игра 4.

Если вы представляете игровое ноле прямоугольной таблицей, то перемещение обозначается изменением координат точки: добавлением или вычитанием чисел 1 или 2. Я разместил эти добавляемые количества (целые числа со знаком) в два вектора DX , DY из 8 элементов. Одно направление перемещения задается номером поля в этой таблице, следовательно, целым числом от 1 до 8.

Головоломка 3.

Остановитесь, когда вы получите 5 в качестве цифры единиц с нулем «в уме».

Головоломка 4.

Представленный здесь алгоритм эквивалентен алгоритму, который можно найти в старых книгах по арифметике, и который действует на целые числа, разбитые на куски но 2 цифры в каждом куске. Вы можете либо разыскать доказательство в этих книгах, либо посмотреть в моей книге «Основы программирования», как можно доказать, что программа, реализующая этот алгоритм, действительно вычисляет квадратный корень. Но это рассуждение слишком сложно, чтобы воспроизводить его здесь.

Лично я работаю по основанию 10. Я представляю числа цепочками цифр. Присоединить 1 справа легко: это просто конкатенация. Сдвинуть вправо легко: используется индекс, сообщающий, начиная с какой позиции нужно урезать. Именно этот индекс и изменяется. Складывать с 2 легко, так как может быть не более одного переноса. Единственная тонкая операция — вычитание, Не проводите сравнения перед вычитанием: оно стоит так же дорого, как и само вычитание. Сделайте копию той части, которая должна была бы быть изменена при вычитании, и если вы обнаружите, что вы не можете осуществить вычитание, — возьмите сохраненное значение.

Головоломка 5.

Задайте три индекса и три значения: i 2, i 3, i 5, x 2, x 3, x 5. Число i 2есть индекс элемента последовательности, который, будучи умноженным на 2, дает подходящего кандидата на роль ближайшего значения (иначе говоря, удвоение числа с индексом i 2− 1 дает число, которое содержится в уже сформированной части последовательности, но удвоение числа с индексом i 2дает число, которое в сформированной части не содержится). Число x 2получается удвоением числа с индексом i 2. Вы определяете аналогично i 3и x 3заменяя «удвоение» на «утроение» (произведение на 3 числа с индексом i 3− 1 содержатся в построенной части последовательности, а число x 3— утроенное число с индексом i 3— в ней не содержится). Наконец, вы делаете то же самое для i 5и x 5. Ближайшее число в последовательности есть наименьшее из чисел x 2, x 3, x 5. Назовем его х . Если x = x 2, то i 2увеличивается на 1 и x 2пересчитывается. То же самое для i 3и i 5.