Жак Арсак - Программирование игр и головоломок

Если i = n , то проход таблицы завершен. Мы внаем наилучшую возможную равнину с p повторениями и равнину с r элементами на последнем проходе, Мы берем лучшую из этих двух, и все кончено.

В противном случае нужно продвинуться вперед на один элемент. Либо этот элемент равен непосредственно предшествующему элементу; мы все еще находимся на той же самой равнине, длина которой увеличивается. Либо он отличается от предыдущего; тогда оказывается пройденной равнина длины r , которую при r > p нужно зарегистрировать как наилучшую. С другой стороны, нужно сказать, что новый элемент находится на равнине, которая в данный момент имеет длину 1.

На первый взгляд, первая стратегия дает программу, содержащую два вложенных цикла: маленький внутренний цикл для прохода равнины и глобальный цикл для прохода всего вектора, равнина за равниной.

Вторая программа содержит только один цикл, пробегающий элементы вектора один за другим и в нужных местах исправляющий значение p . Следовательно, эта вторая программа лучше.

Но это не все. Не позволяйте обмануть себя видимостью. Обе эти программы пробегают вектор элемент за элементом. Если вы составляете вашу программу на Бейсике или LSE, используя операторы ПЕРЕЙТИ К, а не циклы ДЛЯ или FOR, то вы убедитесь, что эти два решения почти неотличимы, а второе решение требует двукратного написания теста, сравнивающего r и p , так что едва ли не чаще эта вторая программа оказывается хуже.

Но есть третья стратегия. Восстановим общую ситуацию: мы прошли часть вектора до номера i включительно и определили наилучшую равнину длины p с общим значением ее элементов, равным x . Точка остановки произвольна.

Известно, что нужно осуществить включение нового элемента. Поставим следующий вопрос: насколько этот новый элемент может изменить ситуацию? Ответ: если он оказывается принадлежащим равнине с длиной, большей p . Может ли он оказаться принадлежащим равнине с длиной, намного большей p ? Нет, мы бы это уже заметили. Следовательно, новый элемент изменяет ситуацию, если он принадлежит равнине длины p + 1. Но такое может случиться, если он равен элементу, содержащемуся в p предыдущих полях.

В начале ничего не пройдено: i = 0, и нет ни одного повторения: p = 0.

i := 0; p := 0

ВЫПОЛНЯТЬ

ЕСЛИ i = n ТО КОНЧЕНО

КОНЕЦ_ЕСЛИ

i := i + 1

ЕСЛИ a [ i ] = a [ i − p ] ТО x := a [ i ]; p := p + 1

КОНЕЦ_ЕСЛИ

ВЕРНУТЬСЯ

Красиво, не правда ли?

Но можно сделать лучше. Тщательно рассмотрите эту программу. Вы должны суметь обнаружить, что можно перескакивать через некоторое количество элементов без обращения к ним…

Головоломка 35.

Не позволяйте себе поддаться впечатлению от ограничений на сложность алгоритма. Вы не можете выделить все возрастающие подпоследовательности, чтобы найти лучшую из них, это было бы слишком длинно, и легко сделать что-нибудь попроще этого.

Воспользуемся снова той же самой техникой. Пусть мы прошли вектор вплоть до некоторой точки. Пусть мы получили соответствующие результаты, но, поскольку мы еще не знаем, в какой форме они нужны, мы оставим их на некоторое время неопределенными. В любом случае выглядит вероятным, что мы знаем наибольшую по длине возрастающую подпоследовательность пройденной части, без которой мы как будто лишены возможности добраться до конца вектора… Как и выше, поставим вопрос: насколько изменяет ситуацию появление нового элемента? Он может продолжить известную нам наиболее длинную последовательность, если он может быть поставлен в ее конец, и, следовательно, если он больше последнего элемента этой последовательности. А если зто не так, то эту наиболее длинную подпоследовательность он изменить не может. Но он может продолжить более короткую подпоследовательность, которая постепенно может стать более длинной, если она медленнее растет.

Рассмотрим, например, последовательность

4 5 3 8 2 6 1 7

Если ограничиться тремя первыми элементами, то наиболее длинная возрастающая подпоследовательность — это

4 5

Добавим четвертый элемент, 8. Он может быть присоединен к концу этой подпоследовательности и дает возрастающую подпоследовательность длины 3:

4 5 8

Следующий элемент — 2 — ничего не меняет. Следующий — 6 — не может быть присоединен к концу последовательности длины 3, но он может быть присоединен к концу последовательности длины 2 — последовательности 4 5 — чтобы дать другую подпоследовательность длины 3: