Джулиан Бакнелл - Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi

Как правило, при оценке случайного характера получаемых результатов берется одна и та же граница с каждого конца распределения хи-квадрат, скажем, 5% и 95%, и утверждается, что эксперимент является достоверным на уровне 5%, если данные эксперимента не попадают в эти границы, и недостоверным на уровне 5% - в противном случае.

До сих пор мы не упоминали еще один аспект: какое количество отдельных событий нужно генерировать? В нашем примере с монетами их было 100. Достаточно ли такого количества? Или можно обойтись и меньшим объемом экспериментов? Или же количество событий должно быть больше? К сожалению, четкого ответа на поставленные вопросы не существует. Кнут (Knuth) утверждает, что хорошим практическим методом для определения достаточности объема экспериментов является следующее: количество ожидаемых событий каждого типа должно быть не менее пяти (в нашем случае ожидаемыми значениями являются 25, 50 и 25, следовательно, объем нашего эксперимента вполне достаточен для оценки случайности результатов), но чем больше событий каждого типа, тем лучше [11].

Давайте оставим наши монеты в покое и вернемся к гипотетической последовательности случайных чисел. Воспользуемся всеми только что полученными знаниями. Определим количество вхождений каждого числа, вычислим значение параметра X и посмотрим, как оно соответствует распределению хи-квадрат с девятью степенями свободы (для последовательности однозначных чисел возможно выпадение одного из 10 чисел;

таком образом, количество степеней свободы будет на единицу меньше, т.е. 9). Минимальный объем экспериментов должен составлять, по крайней мере, 50 чисел (чтобы количество разных чисел было не менее 5), хотя чем длиннее последовательность, тем лучше.

Можно пойти даже дальше. Если рассматривать последовательность как серию пар чисел от 00 до 99, считая каждую пару отдельным событием, ее можно будет разбить на 100 типов событий. Следовательно, количество степеней свободы будет равно 99. Вероятность выпадения каждой пары составляет 1:100. Таким образом, для обеспечения возможности оценки случайности последовательности она должна содержать не менее 500 пар (1000 чисел).

Более того, можно использовать не пары чисел, а тройки, но в этом случае понадобится проводить еще больший объем экспериментов. Существуют и другие виды тестов, но перед их рассмотрением давайте выясним, как можно генерировать случайные числа. После изучения нескольких генераторов последовательностей случайных чисел можно будет прогнать тесты на результатах их работы.

Еще раз хотелось бы повторить, что детерминированные алгоритмы не могут генерировать последовательности случайных чисел, аналогичные получаемым при бросках игрального кубика или при подсчете количества бета-частиц во время распада радиоактивного материала. Детерминированные алгоритмы на основе одинаковых исходных данных будут генерировать одни и те же последовательности чисел. Если, например, генератор X, основанный на четко определенном алгоритме, для начального числа 12 345 678 генерирует случайное число 65 584 256, то даже через пять месяцев тот же генератор X при том же начальном числе даст значение 65 584 256. Следовательно, в вычислении последовательности случайных чисел нет случайности, но с помощью статистических тестов можно показать, что последовательность чисел, генерируемая подобным образом, содержит случайные числа.

Более того, в некоторых случаях повторяемость последовательности случайных чисел бывает даже желательна. Она позволяет использовать генератор для многократного воспроизведения одной и той же последовательности. Такая возможность бывает необходимой в процессе отладки с целью воспроизведения ошибки.

История генераторов случайных чисел уходит корнями к одному из самых известных имен в теории вычислительных машин - Джону фон Нейману (John von Neumann). В 1946 году он предложил следующую схему генерации последовательностей случайных чисел: возьмите N-значное число, возведите его в квадрат и из результата, выраженного в виде 2N-значного числа (при необходимости дополненного слева до 2N-значного), возьмите средние N цифр. Это и будет следующее число в последовательности. Так, например, если N равно 4, в качестве начального числа можно взять 1234. Следующими числами в последовательности будут 5227, 3215, 3362, 3030, 1809 и т.д. Описанный метод известен под названием метода средних квадратов (middle-square method).