Коллектив Авторов - Базы данных - конспект лекций

И, наконец, операцией естественного соединенияполучается отношение, мощность которого больше или равна произведения мощностей двух исходных отношений. Опять-таки это происходит потому, что отношения-операнды «склеиваются» по совпадающим кортежам, а несовпадающие – из результата исключаются вовсе.

2. Свойство идемпотентности:

1) для операции объединения: r ∪ r = r ;

2) для операции пересечения: r ∩ r = r ;

3) для операции разности: r \ r ≠ r ;

4) для операции декартового произведения (в общем случае, свойство не применимо);

5) для операции естественного соединения: r × r = r .

Интересно, что свойство идемпотентности верно не для всех операций из приведенных, а для операции декартового произведения оно и вовсе не применимо. Действительно, если объединить, пересечь или естественно соединить какое-либо отношение само с собой, оно не изменится. А вот если отнять от отношения точно равное ему отношение, в результате получится пустое отношение.

3. Свойство коммутативности:

1) для операции объединения:

r 1∪ r 2= r 2∪ r 1;

2) для операции пересечения:

r ∩ r = r ∩ r ;

3) для операции разности:

r 1\ r 2≠ r 2\ r 1;

4) для операции декартового произведения:

r 1× r 2= r 2× r 1;

5) для операции естественного соединения:

r 1× r 2= r 2× r 1.

Свойство коммутативности выполняется для всех операций, кроме операции разности. Это легко понять, ведь от перестановки отношений местами их состав (кортежи) не меняется. А при применении операции разности важно, какое из отношений-операндов стоит на первом месте, потому что от этого зависит, кортежи какого отношения примутся за эталонные, т. е. с какими кортежами будут сравниваться другие кортежи на предмет исключения.

4. Свойство ассоциативности:

1) для операции объединения:

( r 1∪ r 2) ∪ r 3= r 1∪( r 2∪ r 3) ;

2) для операции пересечения:

( r 1∩ r 2) ∩ r 3= r 1∩ ( r 2∩ r 3);

3) для операции разности:

( r 1\ r 2) \ r 3≠ r 1\ ( r 2\ r 3);

4) для операции декартового произведения:

( r 1× r 2) × r 3= r 1× ( r 2× r 3);

5) для операции естественного соединения:

( r 1× r 2) × r 3= r 1× ( r 2× r 3).

И снова мы видим, что свойство выполняется для всех операций, кроме операции разности. Объясняется это таким же образом, как и в случае применения свойства коммутативности. По большому счету, операциям объединения, пересечения, разности и естественного соединения все равно в каком порядке стоят отношения-операнды. Но при «отнимании» отношений друг от друга порядок играет главенствующую роль.

На основании вышеприведенных свойств и рассуждений можно сделать следующий вывод: три последних свойства, а именно свойство идемпотентности, коммутативности и ассоциативности, верны для всех рассмотренных нами операций, кроме операции разности двух отношений, для которой не выполнилось вообще ни одно из трех означенных свойств, и только в одном случае свойство оказалось неприменимым.

Используя как основу рассмотренные ранее унарные операции выборки, проекции, переименования и бинарные операции объединения, пересечения, разности, декартова произведения и естественного соединения (все они в общем случае называются операциями соединения), мы можем ввести новые операции, выведенные с помощью перечисленных понятий и определений. Подобная деятельность называется составлением вариантов операций соединения.

Первым таким вариантом операций соединения является операция внутреннего соединенияпо заданному условию соединения.

Операция внутреннего соединения по какому-то определенному условию определяется как производная операция от операций декартового произведения и выборки.

Запишем формульное определение этой операции:

r 1( S 1) × P r 2( S 2) = σ < P > ( r 1× r 2), S 1∩ S 2= ∅;