Мартин Гарднер: А ну-ка, догадайся!

Если высказанное утверждение понимать во втором смысле, то любое решение судей противоречит закону.

Знаменитый парадокс брадобрея был предложен Бертраном Расселом. Прочитайте внимательно объявление, вывешенное владельцем парикмахерской. Кто бреет брадобрея?

Если брадобрей бреется сам, то он принадлежит множеству тех жителей города, кто бреется сам.

Но в объявлении утверждается, что наш брадобрей никогда не бреет тех, кто входит в это множество. Следовательно, наш брадобрей не может брить самого себя.

Если же брадобрея бреет кто-нибудь другой, то он принадлежит к числу тех, кто не бреется сам.

Но в объявлении сказано, что он бреет всех, кто не бреется сам.

Следовательно, никто другой не может брить нашего брадобрея.

Похоже, что его не может брить никто!

Бертран Рассел предложил парадокс брадобрея, чтобы облечь в более наглядную форму знаменитый парадокс, обнаруженный им в теории множеств. Некие математические конструкции приводят к множествам, которые включают себя в качестве одного из своих членов. Например, множество, содержащее все, что не является яблоком, само не является яблоком и, следовательно, должно содержать себя в качестве одного из членов. Рассмотрим теперь множество всех множеств, не содержащих себя в качестве одного из членов. Содержит ли оно себя? Как бы вы ни ответили на этот вопрос, вам не удастся избежать противоречия.

С этим парадоксом связан один из наиболее драматических моментов в истории логики. Знаменитый немецкий логик Готлоб Фреге завершил второй том своих «Оснований арифметики», над которым работал всю жизнь. В этом фундаментальном труде Фреге изложил непротиворечивую теорию множеств, которая могла бы послужить основанием для всей математики. Рукопись находилась уже в типографии, когда Фреге получил от Рассела письмо (дело происходило в 1902 г.), в котором Рассел сообщал об открытом им парадоксе. Теория множеств, развитая Фреге, допускала образование множества всех множеств, которые не содержат себя. Но, как явствовало из письма Рассела, это, казалось бы, не таившее никаких опасностей множество было внутренне противоречивым. Фреге не оставалось ничего другого, как дописать к своему труду краткое приложение, которое начиналось словами:

«Вряд ли что-нибудь может быть более нежелательным для ученого, чем обнаружить, что основания едва завершенной работы рухнули. Письмо, полученное мной от Бертрана Рассела, поставило меня именно в такое положение…».

Использованное Фреге слово «нежелательное» неоднократно приводилось как наиболее яркий пример глубокого непонимания в истории математики.

Мы рассмотрим еще несколько парадоксов того же типа, что и парадокс брадобрея, и упомянем о различных подходах к их разрешению. Одно из возможных решений парадокса Рассела состоит в признании того, что определение «множество всех множеств, которые не содержат себя» не задает этого множества.

Более радикальное решение состоит в том, чтобы запретить в теории множеств рассматривать множества, содержащие себя.

Что вы скажете об астрологе, составляющем гороскопы тем и только тем астрологам, которые не составляют себе гороскопов сами? Кто составляет гороскоп такому астрологу?

Что вы скажете о роботе, ремонтирующем те и только те роботы, которые не ремонтируют себя сами? Кто ремонтирует такой робот?

А что вы скажете о каталоге, содержащем сведения о тех и только тех каталогах, которые не включают ссылок на самих себя? В каком каталоге можно найти ссылку на такой каталог?

Все это — различные варианты парадокса Рассела.

В каждом случае множество Sпо определению содержит те и только те объекты, которые не находятся в определенном отношении Rк себе. Парадокс становится очевидным при попытке ответить на вопрос, принадлежит ли множество Sсамому себе. Приведем еще три классические вариации на эту тему.