Мартин Гарднер: А ну-ка, догадайся!

У лестницы метаязыков Тарского существует теоретико-множественный аналог — теория типов Бертрана Рассела. Не вдаваясь в технические подробности, можно сказать, что эта теория, устанавливая среди множеств иерархию по типам, исключает высказывания о принадлежности или непринадлежности множества самому себе. Тем самым исключаются противоречивые множества. Они просто-напросто вычеркиваются из системы. Если вы неукоснительно следуете правилам теории типов, то у вас нет разумного способа определить эти множества, чреватые противоречиями. Ситуация, возникающая при этом в теории множеств, аналогична той, с которой мы сталкиваемся в семантике, когда утверждаем, что такие утверждения, как парадокс лжеца, просто «не являются утверждениями», поскольку не соответствуют правилам построения «законных» утверждений.

Не один год понадобился Бертрану Расселу, чтобы разработать теорию типов. Вот что он пишет в книге «Мое философское развитие»:

Закончив «Принципы математики», я предпринял решительную попытку найти решение парадоксов. Их существование я рассматривал почти как личный вызов и, если потребовалось бы, посвятил бы всю оставшуюся жизнь попыткам разрешить их. Однако по двум причинам такая приверженность идее избавления от парадоксов казалась мне нежелательной. Во-первых, вся проблема представлялась мне тривиальной… Во-вторых, сколько я ни пытался, мне не удавалось ни на шаг продвинуться в ее решении. Почти все 1903 и 1904 гг. ушли на борьбу с парадоксами, но без сколько-нибудь ощутимых признаков успеха.

Может ли снами видеть будущее в своем хрустальном шаре? Предсказание будущего приводит к необычному логическому парадоксу нового типа.

Однажды Свами поспорил со своей десятилетней дочерью Сью.

Сью.Ты большой обманщик, папа. На самом деле ты не можешь предсказывать будущего.

Свами.Нет, могу!

Сью.Нет, не можешь, и я могу доказать это.

Сью написала несколько слов на листке бумаги, сложила его и подсунула под хрустальный шар.

Сью.Я описала некое событие, которое либо произойдет, либо не произойдет до 3 часов дня. Если ты сумеешь предсказать, произойдет ли это событие, то можешь не покупать машину, которую ты обещал подарить мне за успешное окончание школы.

Сью.Вот чистая карточка. Если ты считаешь, что событие произойдет, то напиши на ней ДА. Если, по-твоему, оно не произойдет, напиши на карточке НЕТ. Но если твое предсказание окажется неверным, то ты покупаешь мне машину сейчас, не дожидаясь, пока я окончу школу. Идет?

Свами. Идет!

Свами написал что-то на карточке. Ровно в 3 часе Сью извлекла листок бумаги из-под хрустального шара и, развернув, прочитала вслух то, что было написано на нем: «До 3 часов ты напишешь на карточке НЕТ».

Свами.Это нечестно с твоей стороны. Я написал на карточке ДА, поэтому я ошибся. На если бы я написал НЕТ, то все равно бы ошибся. Что бы я ни написал на карточке, мое предсказание в любом случае оказалось бы неверным.

Сью.Папочка, мне очень нравятся спортивные машины красного цвета я чтобы кресла были с откидными спинками.

В первоначальном варианте этого парадокса речь шла о компьютере, отвечавшем на все вопросы только «да» или «нет», когда к нему обращаются с просьбой предсказать, будет ли его следующий ответ отрицательным. Ясно, что выдать правильное предсказание логически невозможно. В предельно простом варианте парадокс свами возникнет, если обратиться к кому-нибудь с вопросом: "Будет ли следующее произнесенное вами слово словом «нет»? Отвечайте, пожалуйста, только «да» или «нет»".

Отличается ли парадокс с предсказанием свами от парадокса лжеца, или мы, по существу, имеем дело с одним и тем же парадоксом? Предположим, что человек, к которому мы обратимся с нашим несколько необычным вопросом, ответит: «Нет». Что, собственно, означает такой ответ? В развернутом виде односложное «нет» эквивалентно утверждению "Неверно, что я сейчас скажу: «Неверно»". В свою очередь такое утверждение эквивалентно утверждению «Это утверждение ложно». Таким образом, парадокс свами представляет собой нечто большее, чем замаскированный вариант парадокса лжеца»