Мартин Гарднер: А ну-ка, догадайся!

Рассмотрим утверждение парадокса лжеца «Это утверждение ложно». В переводе на теоретико-множественный язык оно звучит так: «Это утверждение есть элемент множества всех ложных утверждений».

Если «это» утверждение действительно принадлежит множеству всех ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, — правда и, следовательно, оно не может принадлежать множеству всех ложных утверждений.

Если же утверждение парадокса лжеца не принадлежит множеству ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, — неправда и, следовательно, оно должно принадлежать множеству всех ложных утверждений.

У каждого семантического парадокса существует теоретико-множественный аналог, а у каждого теоретико-множественного парадокса существует семантический аналог.

Чтобы разрешить семантические парадоксы, используют специальный прием — так называемые метаязыки. Утверждения об окружающем мире, например «Яблоки красные» или «Яблоки синие», делаются на объектном языке. Утверждения об истинностных значениях следует делать на метаязыке.

В этом примере никакого парадокса нет и не может быть, так как утверждение А, записанное, по предположению, на метаязыке, относится к значению истинности утверждения В, записанного на объектном языке.

А каким образом мы могли бы говорить о значениях истинности утверждений, записанных на метаязыке? Для этого нам пришлось бы подняться на еще одну ступень и ввести метаязык. Каждая ступень бесконечной лестницы является метаязыком по отношению к предыдущей ступени (расположенной ниже) и объектным языком по отношению к следующей ступени (расположенной выше).

Понятие «метаязык» было введено польским математиком Альфредом Тарским. На нижней ступени лестницы находятся утверждения об объектах, например «У Марса две луны». Такие слова, как «истина» и «ложь», не входят в язык низшей ступени. Чтобы говорить об истинности или ложности утверждений, высказанных на языке низшей степени, мы должны воспользоваться метаязыком — следующей, более высокой ступенью лестницы. Метаязык включает в себя весь объектный язык, но не исчерпывается им. Метаязык «богаче» объектного языка, поскольку позволяет говорить об истинности и ложности утверждений, записанных на объектном языке. Любимый пример Тарского: «Снег белый» — утверждение из объектного языка, «Утверждение «Снег белый» истинно» — утверждение из метаязыка.

Можно ли говорить об истинности или ложности утверждений из метаязыка? Можно, но лишь поднявшись на третью ступень лестницы и говоря на более высоком метаязыке, позволяющем высказывать утверждения об истинности или ложности утверждений всех языков более низких ступеней.

Каждая ступень лестницы является объектным языком по отношению к ступени, расположенной непосредственно над ней. Каждая ступень, за исключением самой нижней, является метаязыком по отношению к ступени, расположенной непосредственно под ней. Лестница простирается вверх сколь угодно далеко.

Примеры утверждений на языках первых четырех ступеней.

A. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

B. Утверждение Аистинно.

C. Утверждение Вистинно.

D. Утверждение Систинно.

Язык на уровне Апозволяет формулировать теоремы о геометрических объектах. Геометрический текст, содержащий доказательства теорем, написан на метаязыке уровня В. Книги по теории доказательств написаны на языке уровня С. К счастью, математикам редко приходится подниматься выше уровня С.

Теоретическая нескончаемость, или бесконечность, лестницы в занимательной форме рассмотрена в статье Льюиса Кэрролла «Что черепаха сказала Ахиллу» [4] Кэрролл Л. История с узелками, — М.; Мир, 1973, с. 368–372.

Бесконечная иерархия, аналогичная лестнице метаязыков, позволяет избавиться от теоретико-множественных парадоксов. Ни одно множество не может быть членом самого себя или любого множества более низкого типа. Брадобрей, астролог, робот и каталог просто не существуют.