Мартин Гарднер - А ну-ка, догадайся!

Иногда под «средним» понимают не среднее арифметическое, а медиану или моду, что приводит к еще большим недоразумениям. Если значения расположить в порядке возрастания или убывания, то медиана — это значение, стоящее в середине. Если число значений нечетно, то медиана — это значение, равноудаленное от концов такого упорядоченного списка. Если число значений четно, то за медиану обычно принимают среднее арифметическое двух значений, стоящих в середине.

Для Сэма медиана была бы полезнее, чем среднее арифметическое, но даже медиана дает искаженную картину истинного распределения доходов среди служащих фирмы. В действительности Сэму необходимо знать моду — значение, наиболее часто встречающееся в списке данных. На фабрике мистера Гисмо мода — это зарплата, выплачиваемая большему числу сотрудников, чем любая другая зарплата. Иногда моду называют «типичным случаем», так как она встречается чаще других. В нашем последнем примере «типичная» семья в городе (та, чьи доходы служат модой) может быть очень бедной, хотя средний доход горожан очень велик из-за небольшого числа весьма состоятельных жителей.

В конце года жена Сэма получила особый приз от мэра города и почетный титул «матери года».

Местная газета поместила фотографию Сэма, его жены и 13 их детей.

Редактору очень понравился снимок. Он вызвал к себе фотографа.

Редактор.Отличная работа, Баском! Мне пришла в голову новая идея. Снимите-ка мне теперь семью, где бы число детей было средним по нашему городу.

Новое задание редактора оказалось невыполнимым. Почему? Да потому, что ни в одной семье число детей не совпадало со средним!

Среднее число детей было равно 2 1/2

Еще одно широко распространенное заблуждение, связанное со «средним», — убеждение, будто среднее непременно должно существовать. После того как из нашего рассказа в картинках вы узнали о том, что среднее число детей, приходящихся на одну семью, может быть равным 2 1/2, вам не составит труда привести другие примеры, в которых средняя величина не реализуется в действительности. Кто сумеет бросить игральную кость так, чтобы на ней выпало среднее число очков за длинную серию бросаний?

А вот еще несколько вопросов, которые помогут вам глубже понять различие между средним арифметическим, медианой и модой.

1. Предположим, что редактору пришло в голову поместить фотографию семьи, «типичной» в смысле моды. Всегда ли фотограф сумеет найти такую семью?

(Да, типичная семья в смысле моды существует.)

2. Могут ли существовать сразу несколько мод?

Например, могут ли быть одновременно образчиками моды семьи с двумя и с тремя детьми? (Да, если в городе проживает 1476 семей с двумя детьми, 1476 семей с тремя детьми, а число семей с одним ребенком или с четырьмя и более детьми меньше 1476, то в городе наиболее распространены семьи двух первых типов. Каждая из семей с двумя и с тремя детьми с полным основанием может быть названа модой.)

3. Удастся ли фоторепортеру выполнить задание, если редактору понадобится снимок семьи-медианы?

(В большинстве случаев удастся, но не всегда. Как мы уже упоминали, даже если в городе проживает четное число семей, но в двух средних семьях (в списке семей, расположенных в порядке возрастания или убывания числа детей) число детей будет различным; медиана не обязательно должна быть целым числом.)

Как показывает статистика, преобладающее большинство дорожно-транспортных происшествий приходится на долю машин, едущих с умеренной скоростью, и лишь незначительное число — на долю машин, мчащихся со скоростью свыше 150 км/ч. Означает ли это, что водить машину на больших скоростях безопаснее?

Нет, не означает. Статистические соотношения часто не имеют ничего общего с причинно-следственными связями. Большинство людей водят машины с умеренной скоростью, поэтому и большинство происшествий приходится на их долю.