Мартин Гарднер - А ну-ка, догадайся!

К сожалению, это ничего не говорит нам о том, где именно в рассуждениях двух игроков кроется ошибка. Как мы ни бились, нам так и не удалось найти простое и удовлетворительное решение парадокса Крайчика. Книга Крайчика ничем не может нам помочь, а других работ, посвященных этой игре, насколько известно, не существует.

Есть ля жизнь на Титане, самом крупном из спутников Сатурна?

Если на подобные вопросы вы с равной вероятностью отвечаете как утвердительно, так и отрицательно, то это означает, что вы слепо следуете «принципу безразличия». Необдуманное применение этого принципа не раз заводило многих математиков, физиков и даже великих философов в тенета абсурда.

«Принцип недостаточного основания», который экономист Джон Мейнард Кейнс в своем «Трактате по теории вероятностей» переименовал в «принцип безразличия», можно сформулировать следующим образом: если у нас нет веских причин считать нечто истинным или ложным, то это «нечто» мы с равной вероятностью можем считать как истинным, так и ложным.

Принцип безразличия имеет долгую и славную историю. Его применяли в столь разных областях человеческого знания, как естествознание, этика, статистика, экономика, философия, психология. При неправильном применении этот принцип приводит к парадоксам и прямым логическим противоречиям. Французский астроном и математик Лаплас однажды, воспользовшись принципом безразличия, вычислил вероятность того, что завтра утром взойдет солнце, и получил 1826214:1!

Посмотрим, какие противоречия возникают, если воспользоваться принципом безразличия при ответах на вопросы о жизни на Титане. Какова вероятность того, что на Титане есть жизнь? Применив принцип безразличия, мы получим, что эта вероятность равна 1/2. Какова вероятность того, что на Титане нет простейших растений? И на этот вопрос принцип безразличия дает ответ: 1/2. Какова вероятность того, что на Титане нет простейших животных? Ответ снова гласит: 1/2. А какова вероятность того, что на Титане нет ни простейших растений, ни простейших животных? По законам теории вероятностей мы должны умножить 1/2 на 1/2 и получить 1/4. Следовательно, вероятность того, что на Титане есть какая-то жизнь, повысилась до 3/4 вопреки прежней оценке, равной 1/2.

В приведенном выше примере к абсурдным результатам принцип безразличия приводит в сочетании с некоторым дополнительным допущением. Мы молчаливо предполагали, что события, заведомо не являющиеся независимыми, независимы. В свете теории эволюции вероятность существования разума на Титане зависит от существования на нем низших форм жизни.

Приведем еще один поучительный пример неосторожного применения принципа безразличия — парадокс со спрятанным кубом. Предположим, что вам сообщили: «В кладовке спрятан куб с длиной ребра от 2 до 4 см». Поскольку у вас нет оснований предполагать, что длина ребра куба меньше или больше 3 см, вам лучше всего принять ее равной 3 см. А каков объем спрятанного куба? Он должен быть заключен в пределах от 2 3= 8 до 4 3= 64 см 3. Поскольку у вас нет оснований считать, что объем куба меньше или больше 36 см 3, вам лучше всего принять его равным 36 см 3. Иначе говоря, по вашим лучшим оценкам, ребро куба имеет длину 3 см, а объем куба составляет 36 см 3. Странный какой-то куб, вы не находите?

Иначе говоря, применив принцип безразличия к оценке длины ребра спрятанного куба, вы получаете куб с длиной ребра 3 см и с объемом 27 см 3. Применив тот же принцип к оценке объема куба, вы получите куб объемом 36 см 3и длиной ребра, равной (36) 1/3примерно = 3,30 см.

Парадокс с кубом — хорошая модель для демонстрации того, с какими трудностями могут столкнуться физик или статистик, оценивая некую величину по ее максимуму и минимуму и считая, что истинное значение величины, вероятнее всего, лежит посредине между максимумом и минимумом.

Принцип безразличия на вполне законном основании применяется в теории вероятностей, но лишь в тех случаях, когда симметрия ситуации служит объективным основанием для принятия гипотезы о равенстве вероятностей. Например, монета геометрически симметрична: между аверсом и реверсом монеты вы можете провести плоскость симметрии. Монета физически симметрична: ее плотность постоянна по всему объему, иначе говоря, ни лицевая, ни оборотная сторона не имеет перевеса. Силы, действующие на подброшенную монету в воздухе — сила тяжести, давление воздуха и т. д., — симметричны: они не выделяют ни одну из сторон. Следовательно, мы можем с полным основанием считать, что вероятности выпадения «орла» и «решки» равны. Аналогичные соображения симметрии применимы и к шести граням кубической игральной кости, и к 38 ямкам на колесе рулетки.