Ирина Зайцева: Большая книга тестов. Узнай себя и своих близких

Аналогично Саша ответил Наташе оба раза «да». Существует только два куба больше 25: 27 и 64 – значит в одном из этих домов живет Наташа. Именно поэтому она и подумала, что Саша живет по другому адресу. Учитывая, что Ns > 50 и Ns не равно 64 и не равно 81, получаем Nd = 81, Nn = 64, Ns > 50, Ns < 64. Перебором находим, что Ns = 55 (81 + 64 + 55 = 2 х102).

Получается, что номер дома Даши 81, Наташи – 64, а Саши – 55.

Условие

В одном из учебников по математике написано, что наибольшее известное простое число – это разность 23021377-1. Не опечатка ли это?

Ответ

Это опечатка. Любая степень числа, оканчивающегося на 1, тоже оканчивается на 1. Поэтому, разность 23021377 – 1 оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.

Условие

Хозяйка купила торт. К ней может прийти или 10, или 11 гостей.

На какое наименьшее число кусков ей необходимо заранее разрезать торт так, чтобы его можно было поделить поровну как между 10, так и между 11 гостями?

Ответ

Хозяйке следует разрезать торт на 20 кусков. Докажем сначала, что разрезать торт меньше, чем на 20 кусков, не удастся. Если придут

10 человек, то каждый из них должен получить не меньше двух кусков. В самом деле, в противном случае один из 10 гостей получил бы один кусок в 1/10 часть торта, а если бы пришло

11 гостей, то этот кусок нужно было бы дополнительно разрезать. Таким образом, количество кусков не меньше, чем 2 х10 = 20.

Покажем, что 20 кусков торта хватит всем гостям. Разрежем торт на 10 кусков по части и на 10 кусков по 1/110. Если придут 10 гостей, то каждый получит один большой кусок и один маленький – всего + 1/110 = 1/10. Если же придут 11 человек, то 10 из них получат по одному большому куску, а один человек – 10 маленьких кусков.

Условие

Пьер никогда не проигрывает в рулетку больше четырех раз подряд и никогда не ставит на кон больше 20 долларов.

Каким образом он может выиграть 1000 долларов, если в случае выигрыша в рулетку возвращается удвоенная ставка и в самом начале игры у Пьера есть 100 долларов?

Ответ

Пусть Пьер поставит сначала 1 доллар и, если выиграет, скажет: «Ок'ей» и снова поставит 1 доллар. Если проиграет, то в следующей ставке он ставит 2 доллара. Если выиграет, то его выигрыш покроет предыдущий проигрыш, и по сумме двух ставок он выиграет 1 доллар.

После этого пусть Пьер снова скажет: «Ок'ей» и в новой ставке ставит 1 доллар. Если он проиграет и во второй раз, в третий раз он поставит 4 доллара, чтобы в случае выигрыша покрыть предыдущие проигрыши. Если проигрывает в третий раз, то в четвертый раз ставит 8 долларов, если проигрывает и в четвертый, то в пятый раз ставит 16 долларов.

По условию он не проигрывает пять раз подряд, значит играя таким образом до первого выигрыша, он заработает 1 доллар не более, чем за 5 ставок. После этого он скажет: «Ок'ей» и будет делать ставки также, как вначале.

Получается, что после 1000 «Ок'ей» Пьер выиграет 1000 долларов. Для этого ему потребуется сделать не более 5000 ставок.

Условие

Альпинисты стоят на горе высотой 100 м. На вершине горы – дерево, на высоте 50 м (посередине горы) – еще одно дерево.

У альпиниста есть только 75 м веревки и нож. Может ли он спуститься с горы?

Подсказка: альпинисту следует разрезать веревку на два куска по 50 и 25 м.

Ответ

Альпинисту нужно отрезать 25 м веревки, один конец привязать к дереву на вершине горы, а на другом сделать петлю, через которую следует пропустить оставшиеся 50 м веревки, сложенные вдвое: 25 + 50 х1/2 = 50, то есть ему как раз хватит веревки, чтобы добраться до дерева, расположенного на высоте 50 м.

Далее альпинисту необходимо вытянуть веревку из петли, привязать дереву и спуститься вниз.

Условие

В следующих многозначных числах цифры заменены буквами (одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные – разными). Оказалось, что слово «девяносто» делится на 90, а «девятка» – на 9.

Можно ли «сотку» разделить на 9?

Ответ

Буква «о» равна нулю. Сумма восьми различных цифр д + е + в + я + н + о + с + т делится на 9. Поскольку сумма всех цифр 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 делится на 9, то сумма двух оставшихся цифр а + к делится на 9. В этом случае слово «сотка» делится на 9 тогда, когда с + т делится на 9 (так как о = 0, а + к делится на 9).

С другой стороны, д + е + в + я + т + к + а делится на 9 (д + е + в + я + т делится на 9, н + с делится на 9, так как д + е + в + я + н + о + с + т делится на 9 и о = 0).