Ирина Зайцева: Большая книга тестов. Узнай себя и своих близких

Из этого можно сделать вывод, что с + т не может делиться на 9, следовательно слово «сотка» тоже на 9 не делится.

Условие

В шеренгу выстроено n клоунов. На голову каждому надевают колпак одного из цветов: красного, желтого или зеленого. Клоун, стоящий в шеренге n-м видит всех остальных клоунов, n-1-й клоун видит n-2 клоунов, стоящих впереди, ... 2-й клоун видит только первого, первый клоун не видит никого.

Цвет своего колпака клоун определить не может. Каждого клоуна по порядку, начиная с n-го, просят ответить, какого цвета у него колпак. Клоун обязан назвать один из трех цветов.

Какое максимальное число клонов могут гарантированно угадать цвет своего колпака? При этом клоуны перед опоросом могут договориться, но не могут заранее знать, какие колпаки на них наденут.

Ответ

Пронумеруем цвета числами от 0 до 2. n-й клоун, видя всех, кроме себя, складывает числа, соответствующие цветам видимых им колпаков, и называет цвет, соответствующий остатку от деления полученной им суммы на 3.

n-1-й клоун слышит ответ n-го и видит всех остальных клоунов, кроме себя и n-го. Он также может сложить числа, соответствующие видимым им колпакам и взять остаток от деления на 3.

Разность между ответом n-го клоуна и этим числом будет соответствовать цвету колпака на п-1-м клоуне, что даст ему возможность правильно назвать цвет своего колпака.

Таким же образом действует и n-2-й клоун, учитывая два предыдущих ответа. Получается, что все клоуны, кроме n-го, гарантированно узнают цвет своего колпака (n-й клоун не может узнать цвет своего колпака, так как его колпак никто не видит).

Условие

На бесконечной клетчатой бумаге двое играют в крестики-нолики. Один игрок ставит своим ходом два крестика (не обязательно рядом), а другой – один нолик.

Сможет ли играющий крестиками поставить 10 крестиков в ряд?

Ответ

Первые 29 = 512 крестика (за 256 ходов) следует ставить далеко друг от друга (например, на расстоянии 30 клеток друг от друга по горизонтальной прямой). Ответными ходами второй игрок может «испортить» только 256 крестиков, поставив рядом нолик, а 28 = 256 останутся «неиспорченными». Поставив 256 крестиков (за 128 ходов) рядом с каждым «неиспорченным», получим не менее 27 = 128 «неиспорченных» пар.

Далее аналогично получаем 26 = 64 «неиспорченных» тройки крестиков, 25 = 32 «неиспорченных» четверки крестиков, 2 «неиспорченных» восьмерки и 1 «неиспорченную» девятку. За один ход второй игрок не сможет закрыть ряд из девяти крестиков с двух сторон. И следующим ходом первый игрок поставит еще один крестик, то есть получит ряд из 10 крестиков.

Условие

В коммунальной квартире 10 комнат. Жители этих комнат просыпаются по очереди. Если дверь их комнаты на месте, они снимают дверь какой-либо другой комнаты и относят ее в подвал. Если же дверь их комнаты отсутствует, они забирают из подвала любую дверь и ставят ее на место своей (если ни одно из этих действий невозможно, они не делают ничего).

Какое наибольшее количество дверей может оказаться в подвале после того, как все жители комнат проснутся?

Ответ

Представим, что жильцы коммунальной квартиры просыпаются в порядке нумерации их комнат: сначала – первой, потом – второй и т. д.

Рассмотрим комнату, с которой сняли дверь жители первой комнаты. Когда жильцы комнаты со снятой дверью проснутся, они повесят свою дверь на место. В результате этих двух операций ни одной двери в подвале не прибавится и, если даже жильцы остальных восьми комнат снимут по двери, в подвале окажется не более 8 дверей.

Например: жители первой комнаты снимают дверь с десятой комнаты, жители второй комнаты снимают дверь с первой, жители n-й комнаты снимают дверь с n – 1 (1 < n < 10) комнаты.

Проснувшиеся последними жители десятой комнаты вешают свою дверь на место, после чего в подвале окажется 8 дверей от первой, второй, третьей, четвертой, пятой, шестой, седьмой и восьмой комнат.

Условие

Никите подарили игру «Конструктор», в которой было 100 деталей разной длины. В инструкции к игре написано, что из любых трех деталей можно составить треугольник. Никита решил проверить это утверждение и стал составлять из деталей треугольники.

Детали лежат в наборе по возрастанию длин.

Какое наименьшее число проверок необходимо сделать Никите, чтобы доказать или опровергнуть то, что написано в инструкции?