Ирина Зайцева - Большая книга тестов. Узнай себя и своих близких

Ответ

Никите нужна только одна проверка. Ему достаточно проверить, можно ли составить треугольник из двух самых коротких деталей и одной самой длинной.

Если треугольник не составляется, то утверждение инструкции опровергнуто. Если же его можно составить, то сумма длин двух самых коротких деталей больше длины самой длинной, а это означает, что из любых деталей можно составить треугольник.

Условие

На одном столе лежат карты, 10 из которых лежат рубашкой вниз. Фокусник с повязкой на глазах подходит к столу, берет несколько карт и перекладывает их на другой стол, при этом, возможно, переворачивая некоторые из них.

Такую операцию разрешается повторять несколько раз (можно брать карты как с первого, так и со второго стола).

Как переложить карты так, чтобы на обоих столах было одинаковое количество карт, лежащих рубашкой вниз?

Ответ

Переложим на второй стол 10 карт, переворачивая каждую из них. Предположим, что среди этих карт оказалось n лежащих рубашкой вниз и 10-n лежащих рубашкой вверх.

В этом случае после перекладывания на втором столе будет 10-n лежащих рубашкой вниз карт, а на первом столе останется 10-n карт, лежащих рубашкой вниз (было 10 карт, из них n штук переложили).

Таким образом, мы получим то, что требуется в условии головоломки.

Условие

Сто сумасшедших художников последовательно красят часть стены 100 х100 клеток в сто цветов, соблюдая единственное правило: в одной строке и в одном столбце не может оказаться 2 клеток одинакового цвета.

Смогут ли 99 сумасшедших художников правильно покрасить стену, если первый художник уже покрасил «свои» 100 клеток?

Ответ

К сожалению, план сумасшедших художников обречен на провал: например, если в первой строке первые 99 клеток покрашены в 99 различных цветов, а последняя клетка второй строки покрашена в сотый цвет.

Условие

Хоккейный матч между командами «Дружба» и «Мир» закончился со счетом 8: 5.

Докажите, что в матче был такой момент, когда «Дружбе» оставалось забить столько голов, сколько «Мир» уже забил к этому времени.

Ответ

Матч начался с суммарного счета 0, а потом изменялся на единицу и окончательный суммарный счет стал равен 13. Из этого можно сделать вывод, что в матче был такой момент, когда было забито 8 голов.

Пусть n голов забил «Мир», тогда 8-n голов забила «Дружба», что и требовалось доказать.

Условие

Можно ли расположить шахматные фигуры в клетках доски размером 8 х8 (в каждой клетке не более одной фигуры) так, чтобы в любых двух столбцах фигур было поровну, а в любых двух строках – разное количество?

Ответ

Разобьем строки на 4 пары. В каждой паре строк поставим 8 шахматных фигур: n фигур (n – номер пары строк) – в первой строке данной пары и 8-n фигур – во второй строке пары. Причем расположим их в тех столбцах, в которых не стоит фигура из первой строки данной пары. В результате в каждом столбце доски 8 х8 будет стоять по 4 фигуры (по одной в каждой паре строк), а в 8 строках – 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 фигур. Таким образом, условие задачи выполняется.

Условие

При посадке в автобус выстроилась очередь из n пассажиров, у каждого из которых имелся билет на одно из m мест. Первым в очереди стоял вредный старик, который, как только водитель открыл дверь, вбежал в салон и сел на случайное место (возможно, и на свое).

После этого пассажиры по очереди заняли свои места. При этом, если место кого-нибудь из пассажиров занято, он садится случайным образом на одно из свободных мест.

Какова вероятность того, что последний пассажир займет свое место?

Ответ

Представим, что при определенном стечении обстоятельств последний пассажир сел не на свое место (такой случай назовем неудачным). Тогда до прихода последнего пассажира его место было занято пассажиром S (S может быть и вредным стариком).

У пассажира S был выбор – какое место занять. В рассматриваемом случае он занял место последнего пассажира. Но с этой же вероятностью он мог занять и место вредного старика, тогда в дальнейшем все пассажиры, включая последнего, займут свои собственные места. Получается, что каждому неудачному случаю соответствует удачный, который может произойти с той же вероятностью. Это говорит о том, что в половине случаев распределение пассажиров по местам будет неудачным.