Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

год рождения,

год поступления в школу (на завод и т. п.),

возраст,

число лет обучения в школе (работы на заводе и т. п.).

Вы беретесь отгадать сумму этих чисел, хотя ни одно из них вам неизвестно. Для этого вы удваиваете год выполнения фокуса и объявляете итог. (Если, например, фокус показывается в 1954 году, то сумма — 3908.)

Чтобы иметь возможность, не обнаруживая секрета, с успехом проделывать этот фокус несколько раз подряд, вы заставляете слушателя проводить над суммой какие-нибудь арифметические действия, маскируя этим свой прием.

Из многочисленных разновидностей фокусов этого рода опишем один, основанный на знакомом уже нам свойстве множителя, состоящего из ряда одних девяток; когда умножают на него число со столькими же цифрами, получается результат, состоящий из двух половин: первая — это умножаемое число, уменьшенное на единицу; вторая — результат вычитания первой половины из множителя. Например: 247 х 999 = 246 753; 1372 х 9999 = 13 718 628 и т. д. Причину легко усмотреть из следующей строки:

247 х 999 = 247 х (1000 — 1) = 247 000–247 = 246 999–246.

Пользуясь этим, вы предлагаете группе товарищей произвести деление многозначных чисел: одному — 68 933 106: 6894, другому — 8 765 112 348: 9999, третьему — 543 456: 544, четвертому — 12 948 705: 1295 и т. д., а сами беретесь обогнать их всех, выполняя те же задачи. И прежде чем они успеют приняться за дело, вы уже вручаете каждому бумажку с полученным вами безошибочным результатом деления: первому — 9999, второму — 87 652, третьему — 999, четвертому — 9999.

Вы можете сами придумать по указанному образцу ряд других способов поражать непосвященных мгновенным выполнением деления: для этого воспользуйтесь некоторыми свойствами тех чисел, которые помещены в "Галерее числовых диковинок".

Попросите кого-нибудь сообщить вам любимую его цифру. Допустим, вам назвали цифру 6.

— Вот удивительно! — восклицаете вы. — Да ведь это как раз самая замечательная из всех значащих цифр.

— Чем же она замечательна? — осведомляется заинтересованный собеседник.

— Вот посмотрите: умножьте вашу любимую цифру на число значащих цифр, то-есть на 9, и полученное число (54) подпишите множителем под числом 12 345679:

12345679

х 54

_________

Что получится в произведении?

Ваш собеседник выполняет умножение — и с изумлением получает результат, состоящий сплошь из его любимых цифр: 666 666 666.

— Видите, какой у вас тонкий арифметический вкус, — заканчиваете вы. — Вы сумели избрать из всех цифр как раз ту, которая обладает столь замечательным свойством!

Однако в чем тут дело?

Точно такой же изысканный вкус оказался бы у вашего собеседника, если бы он избрал какую угодно другую из девяти значащих цифр, потому что каждая из них обладает тем же свойством:

Почему это так, вы сообразите, если припомните то, что говорилось о числе 12 345679 в "Галерее числовых диковинок".

Фокусы, относящиеся к этой категории, могут быть изменяемы на разные лады.

Опишу один из видов этого фокуса, довольно сложный, но именно потому и производящий сильное впечатление.

Допустим, что вы родились 18 мая и что вам теперь 23 полных года. Я, конечно, не знаю ни даты вашего рождения, ни вашего возраста. Тем не менее я берусь отгадать то и другое, заставив вас проделать лишь некоторый ряд вычислений.

А именно: порядковый номер месяца (май, 5-й месяц) я прошу вас умножить на 100, прибавить к произведению число месяца (18), сумму удвоить, к результату прибавить 8, полученное число умножить на 5, к произведению прибавить 4, помножить результат на 10, прибавить 4 и к полученному числу прибавить ваш возраст (23).

Когда вы все это проделаете, вы сообщаете мне окончательный результат вычислений. Я вычитаю из него 444, а разность разбиваю на грани, справа налево, по две цифры в каждой: получаю сразу как месяц и число вашего рождения, так и ваш возраст.

Действительно. Проделаем последовательно все указанные вычисления:

5 х 100 = 500

500 + 18 = 518

518 х 2 = 1036

1036 + 8 = 1044

1044 х 5 = 5220

5220 + 4 = 5224

5224 х 10 = 52240

52240 + 4 = 52244

52 244 + 23 = 52267

Произведя вычитание 52 267–444, получаем число 51823.

Теперь разобьем это число на грани, справа налево, по две цифры в каждой. Имеем:

5 - 18 – 23,

то-есть 5-го месяца (мая), числа 18; возраст 23 года.

Почему же так получилось?

Секрет наш легко понять из рассмотрения следующего равенства:

{[(100 m + t ) х 2 + 8] х 5 + 4} х 10 + 4 + n — 444 = 10 000 m + 100 t + n .