Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

— Вот число, которое ты задумал!

— Так и есть: ты угадал.

Какова разгадка фокуса?

Этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто: вспомните, что приписать к трехзначному числу его само — значит умножить его на 1001, то-есть на произведение 7 х 11 х 13. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к задуманному числу его само, должно будет поэтому делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13; а в результате деления последовательно на эти три числа (то-есть на их произведение — 1001) оно должно, конечно, снова дать задуманное число.

После сказанного о числе 1001 уже не будет неожиданностью увидеть в витринах нашей галереи число 10101. Вы догадаетесь, какому именно свойству обязано это число такою честью. Оно, как и число 1001, дает удивительный результат при умножении, но не трехзначных чисел, а двузначных ; каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, написанное трижды. Например:

73 х 10 101 = 737 373,

21 х 10 101 = 212 121.

Причина уясняется из следующей строки:

Можно ли проделывать с помощью этого числа фокусы необычайного отгадывания, как с помощью числа 1001?

Да, можно. Здесь возможно даже обставить фокус разнообразнее, если иметь в виду, что 10 101 есть произведение четырех простых чисел:

10 101 = 3 х 7 х 13 х 37.

Предложив товарищу задумать какое-нибудь двузначное число, вы предлагаете второму приписать к нему то же число, а третьему — приписать то же число еще раз. Четвертого вы просите разделить получившееся шестизначное число, например, на 7; пятый товарищ должен разделить полученное частное на 3; шестой делит то, что получилось, на 37, и, наконец, седьмой делит этот результат на 13, причем все четыре деления выполняются без остатка. Результат последнего деления вы просите передать первому товарищу: это и есть задуманное им число.

При повторении фокуса вы можете внести в него некоторое разнообразие, обращаясь каждый раз к новым делителям. А именно, вместо четырех множителей 3 х 7 х 13 х 37 можете взять следующие группы трех множителей: 21 х 13 х 37; 7 х 39 х 37; 3 х 91 х 37; 7 х 13 х 111.

Число это — 10 101,—пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее его известно своими поразительными свойствами. О нем писалось, впрочем, еще двести лет назад в "Арифметике" Магницкого, в главе, где приводятся примеры умножения "с некоим удивлением". С тем большим основанием должны мы включить его в наше собрание арифметических диковинок.

С этим числом вы также можете проделать фокусы вроде предыдущих, хотя, пожалуй, не столь эффектные. Дело в том, что оно представляет собой произведение только двух простых чисел:

10 001 = 73 х 137.

Как воспользоваться этим для выполнения арифметических действий "с удивлением", читатель, надеюсь, после всего сказанного выше догадается сам.

В следующей витрине мы видим новую диковинку арифметической кунсткамеры — число, состоящее из шести единиц. Благодаря знакомству с волшебными свойствами числа 1001, мы сразу соображаем, что

111 111 = 111 х 1001.

Но 111 = 3 х 37, а 1001 = 7 х 11 х 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен [28] Феномен — редкое явление, выходящее за пределы обычного или нормы. , состоящий из одних лишь единиц, представляет собой произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти пять множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число — 111 111:

3 х (7 х 11 х 13 х 37) = 3 х 37 037= 111 111

7 х (3 х 11 х 13 х 37) = 7 х 15873 = 111 111

11 х (3 х 7 х 13 х 37) = 11 х 10 101 = 111 111

13 х (3 х 7 х 11 х 37)= 13 х 8547 = 111 111

37 х (3 х 7 х 11 х 13) = 37 х 3003 = 111 111

(3 х 7) х (11 х 13 х 37) = 21 х 5291 = 111 111

(3 х 11) х (7 х 13 х 37) = 33 х 3367 = 111 111 и т. д.

Вы можете, значит, засадить 15 товарищей за работу умножения, и хотя каждый будет перемножать другую пару чисел, все получат один и тот же оригинальный результат: 111 111.

То же число, 111 111, пригодно и для отгадывания задуманных чисел наподобие того, как выполняется это с помощью чисел 1001 и 10 101. В данном случае нужно предлагать задумать число однозначное , то-есть одну цифру, и повторить ее 6 раз. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3, 7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. д. Это дает возможность до крайности разнообразить выполнение фокуса. Как надо поступать в этих случаях, предоставляю подумать читателю.

На примере числа 111 111 читатель видит, как можно использовать для арифметических фокусов число, состоящее из одних лишь единиц, если оно разлагается на множители. К счастью для любителей подобных фокусов, многие числа такого начертания составные, а не простые.