Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Вавилонский счет на дюжины до сих пор сохранился у нас в исчислении времени, в делении окружности, в типографских мерах.

Хорошо ли, что в борьбе между дюжиной и десяткой победила последняя? Конечно, сильными союзницами десятки были и остаются наши собственные руки с десятью пальцами — живые счетные машины. Но если бы не это, то следовало бы безусловно отдать предпочтение 12 перед 10. Гораздо удобнее производить расчеты по двенадцатеричной системе, нежели по десятичной. Причина та, что число 10 делится без остатка на 2 и на 5, между тем как 12 делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 6. У 10 всего два делителя, у 12 — четыре. Преимущества двенадцатеричной системы станут вам яснее, если вы примете в соображение, что в двенадцатеричной системе число, оканчивающееся нолем, кратно и 2, и 3, и 4, и 6; подумайте, как удобно дробить число, когда и 1/ 2, и 1/ 3, и 1/ 4, и 1/ 6 его должны быть целыми числами! Если же выраженное в двенадцатеричной системе число оканчивается двумя нолями, то оно должно делиться без остатка на 144, а следовательно, и на все множители 144, то-есть на следующий длинный ряд чисел:

2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.

Четырнадцать делителей — вместо тех восьми, которые имеют числа, написанные в десятичной системе, если оканчиваются двумя нолями (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100). В нашей системе только дроби вида 1/ 2, 1/ 4, 1/ 5, 1/ 20и т. д. превращаются в конечные десятичные; в двенадцатеричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные дроби, и прежде всего: 1/ 2, 1/ 3, 1/ 4, 1/ 6, 1/ 8, 1/ 9, 1/ 12, 1/ 16, 1/ 18, 1 24, 1/ 36, 1/ 48, 1/ 72, 1/ 144, которые соответственно изобразятся так:

0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,16; 0,14; 0,1; 0,09; 0,08; 0,06; 0,04; 0,03; 0,02; 0,01.

Было бы, впрочем, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в пять одинаковых куч, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли наше число орехов выражено в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в двенадцатеричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например в десятичной, оно должно иметь те же делители. Разница лишь в том, что в дведадцатеричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нолями).

Когда говорят о преимуществе двенадцатеричной системы в смысле делимости на большое число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей к "круглым" числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся в двенадцатеричной системе нолями.

При таких преимуществах двенадцатеричной системы неудивительно, что среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему. Однако мы уже чересчур тесно сжились с десятичной системой, чтобы решаться на такую реформу.

Великий французский математик Лаплас так высказался по этому вопросу 100 лет назад: "Основание нашей системы нумерации не делится на 3 и на 4, то-есть на два делителя, весьма употребительные по их простоте. Присоединение двух новых знаков (цифр) дало бы системе счисления это преимущество; но такое нововведение было бы несомненно отвергнуто. Мы потеряли бы выгоду, породившую нашу арифметику, — именно, возможность счета по пальцам рук".

Напротив, следовало бы ради единообразия перейти также в измерении дуг от употребительных градусов и минут к новым, десятичным.

Такую реформу пытались провести во Франции, но она не привилась. Не кто иной, как упомянутый Лаплас, был горячим сторонником этой реформы. Его знаменитая книга "Изложение системы мира" последовательно проводит десятичное подразделение углов: градусом он называет не 90-ю, а 100-ю долю прямого угла, минутой — 100-ю часть градуса и т. д. Лаплас высказался даже за десятичное подразделение часов и минут. "Однообразие системы мер требует, чтобы день был разделен на 100 часов, час на 100 минут и минута на 100 секунд", — писал он.

Десятичная система счисления родилась из счета по пальцам. Римская цифра V напоминает руку с отставленным большим пальцем.

Вы видите, следовательно, что дюжина имеет за собой длинную историю и что число 12 не без основания очутилось в галерее числовых диковинок. Зато его соседка — "чортова дюжина", 13, фигурирует здесь не потому, что чем-либо замечательна, а скорее именно потому, что ничем не замечательна, хотя и пользуется такой мрачной славой: разве не удивительно в самом деле, что ровно ничем не выделяющееся число могло стать столь "страшным" для суеверных людей?