Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

В заключение рассмотрим несколько задач особого рода:

Задача № 1

По какой системе счисления выполнено следующее сложение:

Задача № 2

По какой системе счисления выполнено деление:

Задача № 3

Напишите число 130 во всех системах счисления: от двоичной до девятеричной включительно.

Задача № 4

Чему равно число "123", если считать его написанным во всех системах счисления, до девятеричной включительно? Возможно ли, что оно написано по двоичной системе? А по троичной ? Если оно написано по пятеричной системе, то можете ли вы узнать, не переписывая его по десятичной системе, делится ли оно без остатка на 2? Если написано по семеричной системе, то делится ли оно без остатка на 6? Если написано по десятичной системе, то делится ли оно без остатка на 4?

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КУРЬЕЗ

2 5∙ 9 2= 2592

В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую "арифметическую кунсткамеру". В ее витринах нашли бы себе место не только числовые исполины, о которых мы побеседуем в особой главе, но и числа скромных размеров, зато выделяющиеся из ряда других какими-либо необычайными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе внимание; другие открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве.

Представленные в нашей "галерее" любопытные особенности некоторых чисел не имеют ничего общего с теми воображаемыми диковинками, которые усматривают в иных числах любители таинственного. Образчиком подобных числовых суеверий может служить следующее арифметическое соображение, неосторожно высказанное знаменитым французским писателем Виктором Гюго:

"Три — число совершенное. Единица для числа 3 то же, что диаметр для круга. Среди прочих чисел 3 то же, что круг среди фигур. Число 3 — единственное, имеющее центр. Остальные числа — эллипсы, имеющие два фокуса. Отсюда следующая особенность, присущая единственно числу 3: сложите цифры любого числа, кратного 3, сумма всегда делится без остатка на 3".

В этом туманном и мнимо глубокомысленном откровении все неверно: что ни фраза, то либо вздор, либо вовсе бессмыслица. Верно только замечание о свойстве суммы цифр, но свойство это не вытекает из сказанного и к тому же не представляет исключительной особенности числа 3: им отличается в десятичной системе также и число 9, а во всех вообще системах — числа, на единицу меньшие основания.

Диковинки нашей галереи — иного рода: в них нет ничего таинственного или неразгаданного.

Приглашаю читателя совершить экскурсию по галерее таких числовых диковинок и познакомиться с некоторыми из них.

Пройдем, не останавливаясь, мимо первых витрин, заключающих числа, свойства которых нам хорошо знакомы. Мы знаем уже, почему попало в галерею диковинок число 2: не потому, что оно первое четное число [24] Первым четным числом можно, впрочем, считать не 2, а 0. , а потому, что оно — основание самой любопытной системы счисления (см. стр. 65).

Не удивимся мы, встретив тут 5 — одно из наших любимейших чисел, играющее важную роль при всяких "округлениях". Не будет неожиданностью для нас найти здесь и число 9 — конечно, не как "символ постоянства" [25] Древние (последователи Пифагора) считали 9 символом постоянства, "так как все числа, кратные 9, имеют сумму цифр, кратную 9". , а как число, облегчающее нам проверку всех арифметических действий (см. стр. 43). Но вот витрина, за стеклом которой мы видим

Чем оно замечательно? Это число месяцев в году и число единиц в дюжине. Но что, в сущности, особенного в дюжине? Немногим известно, что 12 — старинный и едва не победивший соперник числа 10 в борьбе за почетный пост основания системы счисления. Культурнейший народ древнего Востока — вавилоняне и их предшественники, населявшие Двуречье, вели счет в двенадцатеричной системе счисления. И если бы не пересилившее влияние Индии, подарившей нам десятичную систему, мы, вероятно, унаследовали бы от Вавилона двенадцатеричную систему. Кое в чем мы и до сих пор платим дань этой системе, несмотря на победу десятичной. Наше пристрастие к дюжинам и гроссам [26] Гросс — 12 дюжин. В коробке перьев — гросс, 144 штуки. , наше деление суток на 2 дюжины часов деление часа на 5 дюжин минут, деление минуты на столько же секунд, деление круга на 30 дюжин градусов, наконец деление фута на 12 дюймов [27] Фут равен 30,479 см. ,— не свидетельствует разве все это (и многое другое) о том, как велико в наши дни влияние этой древней системы?