Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Точно так же число "100" в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятеричной системе, то-есть 25. Остальные числа записки соответственно означают:

Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет:

Я окончил курс университета 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 6 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал в месяц 50 руб., из которых 1/ 5приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 руб. в месяц.

Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Нисколько. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятеричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда:

119:5 = 23, остаток 4.

Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятеричной системе — 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5:

23:5 = 4, остаток 3.

Это показывает, что во втором разряде (пятерок) будет цифра 3, а в третьем ("двадцатипятерок") — 4.

Итак, 119 = 4 х 25 + 3 х 5 + 4, или в пятеричной системе "434".

Сделанные действия для удобства располагают так:

Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.

Приведем еще примеры.

Числовая система ацтеков Мексики была двадцатеричной. Количества до 20 они изображали числом точек или пальцев; для 20 рисовался флаг; число 400 (20 х 20) имело значок, похожий на ель, который значил — "многочисленный, как волосы". Для самой большой единицы счета — 8000 (20 х 20 х 20) — изображался мешок: он символизировал огромное количество бобов какао в мешке. Чтобы изобразить некоторое количество предметов, ацтеки прямо пририсовывали к изображению этого предмета нужные числовые значки: таким образом, А означает 9 масок из драгоценного камня; Б — 100 мешков какао; В — 402 бумажных одеяла указанного рисунка; Г — 8000 связок листьев копаловой камеди.

Пример 1.

Изобразить 47 в троичной системе:

Решение:

Ответ: "1202". Проверка: 1 х 27 + 2 х 9 + 0 х 3 + 2 = 47.

Пример 2.

Число 200 изобразить в семеричной системе.

Решение:

Ответ: "404". Проверка: 4 х 49 + 0 х 7 + 4 = 200.

Пример 3.

Число 163 изобразить в двенадцатеричной системе.

Решение:

Ответ: "117". Проверка: 1 х 144 + 1 х 12 + 7 = 163

Теперь читатель не затруднится изобразить любое число в какой угодно системе счисления. Единственная помеха может возникнуть лишь вследствие того, что в некоторых случаях не будет доставать обозначений для цифр . В самом деле: при изображении числа в системах с основанием более десяти (например, двенадцатеричной), может явиться надобность в цифрах " десять " и " одиннадцать ". Из этого затруднения нетрудно выйти, избрав для новых цифр какие-нибудь условные знаки или буквы — хотя бы, например, буквы К и Л.

Так, число 1579 в двенадцатеричной системе изобразится следующим образом:

Ответ: "(10)(11)7", или KЛ7. Проверка: 10 х 144 + 11 х 12 + 7 = 1579.

Выразите:

1) Число 1926 в двенадцатеричной системе.

2) Число 273 в двадцатеричной системе.

Нетрудно сообразить, что в каждой системе высшая цифра, какая может понадобиться, равна основанию этой системы без единицы. Например, в десятичной системе высшая цифра 9, в шестеричной — 5, в троичной — 2, в пятнадцатеричной — 14 и т. д.

Клинописные цифры вавилонской шестидесятеричной системы. Для записи целых чисел вавилоняне пользовались всего двумя знаками — 1 и 10; 60 изображалось знаком единицы, но с большим интервалом от следующих цифр.

Самая простая система счисления, конечно, та, для которой требуется меньше всего цифр. В десятичной системе нужны десять цифр (считая и 0), в пятеричной— пять цифр, в троичной — три цифры (1, 2 и 0), в двоичной— только две цифры (1 и 0).

Существует ли и "единичная" система? Конечно, — это система, в которой единицы высшего разряда в один раз больше единицы низшего, то-есть равны ей; другими словами, "единичной" можно назвать такую систему, в которой единицы всех разрядов имеют одинаковое значение. Это самая примитивная "система"; ею пользовался первобытный человек, делая на дереве зарубки по числу сосчитываемых предметов. Но между нею и всеми другими системами счета есть громадная разница: она лишена главного преимущества нашей нумерации — так называемого поместного значения цифр . Действительно: в "единичной" системе знак, стоящий на третьем или пятом месте, имеет то же значение, что и стоящий на первом месте. Между тем даже в двоичной системе единица на третьем месте (справа) уже в 4 раза (2 х 2) больше, чем на первом, а на пятом — в 16 раз больше (2 х 2 х 2 х 2). Для изображения какого-нибудь числа по "единичной" системе нужно ровно столько же знаков, сколько было сосчитано предметов: чтобы записать сто предметов, нужно сто знаков, в двоичной же — только семь ("1100100"), а в пятеричной — всего три ("400").