Максим Кідрук - Бот

Квадратним рівняння називається алгебраїчне рівняння виду:

ax 2+ bx + c = 0,

де a, b і c — коефіцієнти, x — змінна.

Це рівняння має два розв’язки (корені), що визначаються з виразу:

В загальному вираз b 2 — 4 ac , з якого добувається корінь квадратний у чисельнику, може бути будь-яким — як додатним, так і від’ємним. У випадку b 2 — 4 ac ≥ 0 проблем не виникає — рівняння розв’язується і має два корені. Що ж виходить, коли b 2 — 4 ac < 0, і під коренем квадратним опиняється від’ємне число? До п’ятого чи шостого класу нас учили, що таке рівняння не розв’язується. Коренів просто не існує. Це твердження обґрунтовувалось неможливістю видобування кореня квадратного з від’ємного числа. Насправді все зовсім не так просто.

В математиці немало задач, під час розв’язку яких доводиться добувати корені з від’ємних чисел. Для того, щоб подолати цю проблему, математики вигадали цікаву штуку, яку назвали уявна одиниця і позначили і . Уявна одиниця — це таке число, квадрат якого дорівнює мінус одиниці. Тобто, i 2= –1. Таким чином, розв’язати квадратне рівняння можна навіть при b 2 — 4 ac < 0. Корені в такому випадку матимуть вигляд:

де і — уявна одиниця.

А тепер забудьте про квадратні рівняння і сконцентруйтесь на ідеї уявної одиниці. Введення поняття числа і призвело до появи комплексних чисел.

В загальному, комплексні числа — це розширення дійсних чисел, якими ми зазвичай користуємося при лічбі. Будь-яке комплексне число z записується у вигляді:

z = x + iy,

де x та y — звичайні (дійсні) числа, і — уявна одиниця.

Тривалий час комплексні числа сприймались як абстракція, вигадана математиками і придатна лиш для математичних головоломок. Нині комплексні числа дозволяють зручно і стисло сформулювати чимало математичних моделей, їх застосовують у математичній фізиці та природничих науках (електротехніці, гідродинаміці, квантовій механіці, теорії коливань тощо). Власне, якби не комплексні числа, вчені б досі не мали уявлення про фрактальну геометрію, а також про надскладну впорядкованість природи.

Комплексні числа можна представити геометрично (візуально). Візьмемо площину з прямокутною (Декартовою) системою координат. На осі абсцис відкладатимемо значення x , на осі ординат — y (див. рис. нижче). Будь-яке комплексне число ( z 0= x 0+ iy 0чи z 1= x 1+ iy 1) можна представити у вигляді точки на цій площині (відповідно, з координатами { x 0, y 0} та { x 1, y 1}). Ця площина дістала назву комплексної .

N. B. Зверніть увагу, дійсні числа (ті числа, якими ми користуємося в побуті) на комплексній площині відповідають виключно осі абсцис. Для них y = 0 . Введення поняття комплексних чисел неймовірно розширило межі математичних обчислень. Це наче інша реальність, новий вимір. На комплексній площині ці числа — все, що лежить вище і нижче від осі абсцис. Іншими словами, з точки зору математики дійсні (звичайні) числа — це радше виняток. Переважна більшість значень виражається саме комплексними, а не дійсними числами.

Геометричне представлення комплексних чисел на комплексній площині

Ось тепер ми нарешті підібрались упритул до множини Мандельброта.

Математик Бенуа Мандельброт досліджував рекурсивні процеси виду z i +1= z i 2+ c , де с — це довільне комплексне число, а z 0= 0.

Візьмемо для прикладу c = 3–2 i .

Тоді перші три члени послідовності дорівнюватимуть:

z 1= z 0 2+ c = 0 + 3–2 i = 3–2 i

z 2= z 1 2+ c = (3–2 i) 2+ 3–2 i = = 9 — 12 i + 4 i 2+ 3–2 i = 8 — 14 i

z 3= z 2 2+ c = (8 — 14 i) 2+ 3–2 i = = 64 — 224 i + 196 i 2+ 3–2 i = — 129–226 i

і так далі…

Що ж там досліджувати, спитаєте ви? Та майже нічого. Кожне з нових отриманих z i також є комплексним числом і, відповідно, позначається точкою на комплексній площині. Математики ще задовго до Мандельброта помітили, що деякі z i прямують до нескінченності, а інші — збігаються, цебто прямують до якогось конкретного числа. Така дивна поведінка не підкорялася жодним теоріям, аналітично її не змогли пояснити. Відтак учених зацікавило, що являє собою сукупність точок послідовності z i +1= z i 2+ c , які не прямують до нескінченності. Яка з них складеться фігура? Коло? Еліпс? Можливо, хаотичний набір точок? Який-небудь складніший візерунок?