Елисеев Д - Рассказы о математике с примерами на языках Python и C

Видимо, уже во время Эратосфена стало ясно, что какого-либо четкого критерия, является ли число простым, не существует — это можно проверить лишь экспериментально. Существуют различные способы для упрощения процесса (например, очевидно, что число не должно быть четным), но простой алгоритм проверки не найден до сих пор, и скорее всего найден не будет: чтобы узнать, простое число или нет, надо попытаться разделить его на все меньшие числа.

Это несложно записать в виде программы на языке Python:

import math

def is_prime(n):

if n % 2 == 0 and n > 2:

return False

for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):

if n % i == 0:

return False

return True

# Вывод всех простых чисел от 1 до N

N = 100

for p in range(1, N, 2):

if is_prime(p): print(p)

# Вывод результата, является ли заданное число простым

print(is_prime(2147483647))

Желающие могут поэкспериментировать с программой самостоятельно.

Подчиняются ли простые числа каким-либо законам? Да, и они довольно любопытны. Так, например, французский математик Мерсенн еще в 16 веке обнаружил, что много простых чисел имеет вид 2 N— 1, эти числа названы числами Мерсенна. Еще незадолго до этого, в 1588 году, итальянский математик Катальди обнаружил простое число 2 19— 1 = 524287 (по классификации Мерсенна оно называется M19). Сегодня это число кажется весьма коротким, однако даже сейчас с калькулятором проверка его простоты заняла бы не один день, а для 16 века это было действительно огромной работой. На 200 лет позже математик Эйлернашел другое простое число 2 31— 1 = 2147483647. Необходимый объем вычислений каждый может представить сам. Он же выдвинул гипотезу, названную позже «проблемой Эйлера», или «бинарной проблемой Гольдбаха»: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например, можно взять 2 любых четных числа: 123456 и 888777888. С помощью компьютера можно найти их сумму в виде двух простых чисел: 123456 = 61813 + 61643 и 888777888 = 444388979 + 444388909. Интересно здесь то, что точное доказательство этой теоремы не найдено до сих пор, хотя с помощью компьютеров она была проверена до чисел с 18 нулями.

Существует и другая теорема, называемая теоремой Ферма-Эйлера, открытая в 1640 году, которая говорит о том, что если простое число имеет вид 4*k+1, то оно может быть представлено в виде суммы квадратов других чисел. Так, например, в нашем примере простое число 444388909 = 4*111097227 + 1. И действительно, с помощью компьютера можно найти, что 444388909 = 19197*19197 + 8710*8710. Теорема была доказана Эйлером лишь через 100 лет.

И наконец Бернхардом Риманом в 1859 году была выдвинута так называемая «Гипотеза Римана» о количестве распределения простых чисел, не превосходящих некоторое число. Эта гипотеза не доказана до сих пор, она входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя в Кембридже готов выплатить награду в один миллион долларов США.

Так что с простыми числами не все так просто. Есть и удивительные факты. Например, в 1883 г. русский математик И.М.Первушиниз Пермского уезда доказал простоту числа 2 61— 1 = 2305843009213693951. Даже сейчас компьютеру с запущенной вышеприведенной программой требуется несколько минут на проверку данного числа, а на то время это была поистине гигантская работа.

Кстати интересно, что существуют люди, обладающие уникальными способностями мозга — так например, известны аутисты, способные находить в уме (!) 8-значные простые числа. Как они это делают, непонятно. Такой пример описывается в книге известного врача-психолога Оливера Сакса “Человек, который принял жену за шляпу”. По некоторым предположениям, такие люди обладают способностью “видеть” числовые ряды визуально, и пользуются методом “решета Эратосфена” для определения, является ли число простым или нет.

Еще одна интересная гипотеза была выдвинута Ферма, который предположил, что все числа вида

являются простыми. Эти числа называются “числами Ферма”. Однако, это оказалось верным только для 5 первых чисел: F 0=3, F 1=5, F 2=17,F 3=257, F 4=65537. В 1732 году Эйлеропроверг гипотезу, найдя разложение на множители для F 5: F 5= 641·6700417. Существуют ли другие простые числа Ферма, пока неизвестно до сих пор. Такие числа растут очень быстро (для примера, F 7=340282366920938463463374607431768211457), и их проверка является непростой задачей даже для современных компьютеров.

Актуальны ли простые числа сегодня? Еще как! Простые числа являются основой современной криптографии, так что большинство людей пользуются ими каждый день, даже не задумываясь об этом. Любой процесс аутентификации, например, регистрация телефона в сети, банковские платежи и прочее, требуют криптографических алгоритмов. Суть идеи тут крайне проста и лежит в основе алгоритма RSA, предложенного еще в 1975 году. Отправитель и получатель совместно выбирают так называемый «закрытый ключ», который хранится в надежном месте. Этот ключ представляет собой, как, наверное, читатели уже догадались, простое число. Вторая часть — «открытый ключ», тоже простое число, формируется отправителем и передается в виде произведения вместе с сообщением открытым текстом, его можно опубликовать даже в газете. Суть алгоритма в том, что не зная «закрытой части», получить исходный текст невозможно.