Feynmann - Feynmann 9

Тогда одно из двух уравнений примет вид

Поскольку rv это и есть J[см. (19.18)], то мы просто еще раз получили уравнение непрерывности. Второе же уравнение говорит об изменении q:

Те из вас, кто хорошо знаком с гидродинамикой (думаю, очень немногие), в этом уравнении узнают уравнение движения электрически заряженной жидкости, если только отождествить h q с «потенциалом скоростей»; но только в последнем члене, который должен быть энергией сжатия жидкости, имеется до­вольно странная зависимость от плотности р. Во всяком случае, это уравнение утверждает, что скорость изменения величины h q дается членом с кинетической энергией (т/2) v 2 плюс член с потенциальной энергий q j плюс добавочный член с множите­лем h 2, который мы назовем «квантовомеханической энергией». Мы видели, что внутри сверхпроводника электростатические силы поддерживают r очень однородным, поэтому во всех прак­тических применениях этим членом почти наверняка можно пре­небречь при условии, что имеется только одна сверхпроводящая область. Если между двумя сверхпроводниками имеется гра­ница (или есть другие обстоятельства, за счет которых r может начать резко меняться), то этот член может стать существенным. Для тех, кто не так уж знаком с уравнениями гидродинамики, я попробую переписать (19.33) в том виде, который позволит яснее видеть физику. Я использую (19.31), чтобы q выразить через v. Беря от всего уравнения (19.33) градиент и выражая с помощью (19.31) Сq через Аи v, я получу

Что же означает это уравнение? Вспомним, во-первых, что

Затем заметим, что если взять ротор от уравнения (19.19), то получится

поскольку ротор градиента всегда нуль. Но СX A— это маг­нитное поле В, так что два первых члена можно записать в виде

q / m ( E+ vX B).

Наконец, вы должны уяснить себе, что д v / д t обозначает ско­рость изменения скорости жидкости в данной точке. Если же вас интересует отдельная частица, то ее ускорение выразится полной производной от v (или, как иногда говорят в динамике жидкостей, «сопутствующим ускорением»), связанной с д v / д t формулой [см. гл. 40, § 2 (вып. 7)]

В правой части (19.34) стоит тот же член ( v·С) v. Если перенести его влево, то (19.34) перепишется так:

Затем из (19.36) следует

Это и есть уравнения движения сверхпроводящей электрон­ной жидкости. Первое уравнение — это просто закон Ньютона для заряженной жидкости в электромагнитном поле. Оно ут­верждает, что ускорение каждой частицы жидкости с зарядом q вызывается действием обычной лоренцевой силы q ( E+ vX B) плюс добавочная сила, являющаяся градиентом какого-то таин­ственного квантовомеханического потенциала; эта сила обычно мала и становится заметной только при соприкосновении двух разных сверхпроводников. Второе уравнение утверждает, что жидкость «идеальна» — ротор обладает нулевой дивергенцией (у В дивергенция всегда нуль). Это означает, что скорость может быть выражена через потенциал скоростей. Обычно для идеаль­ной жидкости пишут СX v=0, но для идеальной заряженной жид­кости в магнитном поле это уравнение обращается в (19.39).

Итак, уравнение Шредингера для электронных пар в сверх­проводнике дает нам уравнения движения электрически заря­женной идеальной жидкости. Теория сверхпроводимости сов­падает с задачей гидродинамики заряженной жидкости. Если вы хотите решить какую-либо задачу, касающуюся сверхпровод­ников, вы берете эти уравнения для жидкости [или равноценную им пару (19.32) и (19.33)] и сочетаете их с уравнениями Мак­свелла, чтобы получить поля. (Заряды и токи, которыми вы пользуетесь, чтобы узнать поля, должны, естественно, включать как заряды и токи от сверхпроводника, так заряды и токи от внешних источников.)