Feynmann - Feynmann 9

Фиг. 11. 7 . Относительные вероятности обнаружить захваченный электрон в атом­ных узлах поблизости от примесного ато­ма — ловушки.

С наибольшей вероятностью электрон можно встретить близ атома примеси. Для соседних атомов вероятность спадает экспоненциально по мере удаления от атома примеси. Это новый пример «проникно­вения через барьер». С точки зрения классической физики элек­трону не хватило бы энергии, чтобы удалиться от энергетиче­ской «дырки» близ центра захвата. Но квантовомеханически он может куда-то недалеко просочиться.

§ 8. Амплитуды рассеяния и связанные состояния

Наш последний пример может быть использован, чтобы проиллюстрировать одну вещь, которая в наши дни очень полезна для физики частиц высокой энергии. Речь идет о связи между амплитудами рассеяния и связанными состояниями. Положим, мы открыли (при помощи опытов и теоретического анализа), как пионы рассеиваются на протонах. Затем откры­вается новая частица и кому-то хочется узнать, не является ли она просто комбинацией из пиона и протона, объединенных в одно связанное состояние (по аналогии с тем, как электрон, будучи связан с протоном, образует атом водорода)? Под связанным состоянием мы подразумеваем комбинацию, энергия которой ниже, чем у пары свободных частиц.

Существует общая теория, согласно которой, если ампли­туду рассеяния проэкстраполировать (или, на математическом языке, «аналитически продолжить») на энергии вне разрешен­ной зоны, то при такой энергии, при которой амплитуда стано­вится бесконечной, возникнет связанное состояние. Физическая причина этого такова. Связанное состояние — это когда имеют­ся только волны, стоящие близ некоторой точки; это состояние не порождается никакой начальной волной, оно просто сущест­вует само по себе. Относительная пропорция между так называе­мыми «рассеянными», или созданными, волнами и волнами, «посылаемыми внутрь», равна бесконечности. Эту идею мы мо­жем проверить на нашем примере. Выразим нашу рассеянную амплитуду (11.37) прямо через энергию Е рассеявшейся частицы (а не через k ). Уравнение (11.30) можно переписать в виде

поэтому рассеянная амплитуда равна

Из вывода формулы следует, что применять ее можно только для реальных состояний — для тех, энергия которых попадает в энергетическую полосу, Е=Е 0 +2А. Но представьте, что мы об этом забыли и расширили нашу формулу на «нефизические» области энергии, где | Е - Е 0 |>2 A . Для этих нефизических областей можно написать

Тогда «амплитуда рассеяния» (что бы это выражение ни зна­чило) равна

Теперь задаем вопрос: существует ли такая энергия Е, при которой b становится бесконечным (т. е. при которой выраже­ние для b имеет «полюс»)? Да, существует, если только F отри­цательно; тогда знаменатель (11.45) обратится в нуль при

т. е. при

При знаке минус получается как раз то, что мы получили в (11.43) для энергии захваченного электрона.

А как быть со знаком плюс? Он приводит к энергии выше разрешенной полосы энергий. И действительно, существует другое связанное состояние, которое мы пропустили, решая (11.28). Найти энергию и амплитуды а n для этого связанного состояния вам предоставляется самим.

Одним из ключей (причем самых надежных) к разгадке экспе­риментальных наблюдений над новыми странными частицами служит это соотношение между законом рассеяния и связан­ными состояниями.

* Знак корня, который здесь следовало поставить, это технический вопрос, связанный с допустимыми знаками к в (11.39) и (11.40). Мы не будем здесь вдаваться в подробности.